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Warum wir die Zukunft nicht Voraussagen können – Lotto und Glücksspiele Tipps Teil 1

dass Gott in die Kräfte der Natur eine geheime Kunst gelegt hat, sich aus dem Chaos von selber zu einer vollkommenen Weltverfassung auszubilden.
Immanuel Kant

Offensichtlich … Plötzlich wurde es mucksmäuschenstill im Computerlabor. Als wir unsere Blicke auf die beiden schlaksigen Programmierer richteten, die sich an den Wänden des Labors gegenüberstanden, schien es, als hörten wir alle die Filmmusik von High Noon in unseren Köpfen. Hinter ihren schwarzen Brillengestellen mit den starken Gläsern warfen sie sich gegenseitig böse Blicke zu. Jeder Programmierer beharrte auf seinem eigenen Ergebnis der gleichen Berechnung, und jeder war bereit, sich auf ein Duell bis zum digitalen Tod einzulassen. Als das Signal ertönte, zogen sie ihre Taschenrechner aus der Schutzhülle an der Hüfte, gaben den gleichen Dezimalbruch (0,37) ein und drückten die gleiche dreifache Tastenfolge – die Taste zum Quadrieren (x2), das Minuszeichen (-) und die Zahl 2 (2). Selbstverständlich zeigte das Display ihrer Rechner das gleiche Ergebnis. Dann drückten sie die drei Pasten noch einmal und wiederholten diese Prozedur schließlich dreißigmal. Beide Taschenrechner funktionierten einwandfrei. Offenbar lieferten die beiden Rechner, diese Symbole der Stabilität und Zuverlässigkeit, auch nach dreißig Runden immer wieder die gleiche Antwort.

Überraschung … Die beiden Taschenrechner zeigten stark voneinander abweichende Resultate und lagen beide daneben. Nicht alles lief rund im O-K-Computerlabor. Das Chaos regiert.

Im letzten Kapitel stellten wir fest, dass verblüffende Koinzidenzen in der Tat allein durch reinen Zufall passieren. Koinzidenzen sind unerwartete Ähnlichkeiten, die man auch unerwartete Konvergenzen oder Zusammentreffen nennen kann. In diesem Kapitel wollen wir das entgegengesetzte Phänomen studieren – mit anderen Worten: unerwartete Divergenzen oder unerwartete Abweichungen. Ausgelassene Schmetterlinge, trügerische Tabellenkalkulation, verrückt spielende Taschenrechner, eigenartige Pendel und aufspringende Bälle werden unsere Intuition vor ein Rätsel stellen und mit dem Chaos konfrontieren. Winzige, unbedeutende Veränderungen, die heute geschehen, vergrößern sich im Lauf der Zeit und werden unsere Zukunft dramatisch verändern. Wir werden mit der tragischen Geschichte beginnen, die häufig am Anfang einer Abhandlung über das Chaos steht: mit der Geschichte des Schmetterlings aus Brasilien, dessen sorgloses Flattern mehr Wirbelstürme in Kansas ausgelöst hat als alle künftigen Fortsetzungsfilme des Zauberers von Oz zusammengenommen.

Der berüchtigte Schmetterling aus Brasilien
Die Parabel beginnt im taufeuchten brasilianischen Regenwald. Die Hauptrolle spielt ein wunderschöner, zarter Schmetterling, der träge, aber anmutig mit seinen zerbrechlichen Flügeln flattert. Die Luft unter seinen Flügeln regt sich ganz leise, aber genau die se leichte Luftströmung lenkt eine geringfügig größere Luftströmung ab. Jene Luftmasse beeinflusst ihrerseits ein noch größeres Luftvolumen.

Im Laufe der Zeit breitet sich dieser winzige Flügelschlag Schritt für Schritt immer weiter aus und beeinflusst immer größerer Luftmassen, die sich mit zunehmender Stärke fortbewegen. Schon bald verursacht die sanfte Ausdehnung des Flügels die Zusammenballung von Wolken, bis schwere Stürme über den Globus peitschen. Diese Stürme treiben enorme Luftmassen vor sich her, bis wir sehen, wie die unheilvollen Silhouetten von Wirbelstürmen über der Ebene von Kansas tanzen. Der Himmel verfinstert sich, es regnet Bindfäden und – na ja, sagen wir, es ist ein Wetter, bei dem man keinen Hund vor die Tür jagt.

Wäre doch dieser gedankenlose Schmetterling aus Brasilien nur etwas einfühlsamer gewesen und hätte sein flüchtiges Verlangen zu flattern ein wenig gezügelt, dann hätten die Menschen in Kansas einen ruhigen, sonnigen Tag genießen können, und kein Hündchen wäre vom Sturm davongeweht worden. Dieser schicksalhafte Flügelschlag veränderte den Lauf der Geschichte, und der Katastrophen verursachende Schmetterling gab dem sogenannten Schmetterlingseffekt seinen Namen. Er bezieht sich auf die Tatsache, dass heute geschehende minimale Veränderungen zu enormen Veränderungen in der Zukunft führen.

Aus einem anderen Blickwinkel betrachtet, wirft der SchmetterlIingseffekt die faszinierende Frage auf, ob wir Menschen zu diesem Schmetterling werden könnten. Das heißt, könnten wir womöglich lernen, absichtlich solche subtilen Veränderungen vorzunehmen, die das Wetter auf dramatische, aber kontrollierbare Weise verändern würden? So könnten wir beispielsweise mit Bedacht Wolken impfen, um in Dürrezeiten erntesichernden Regen hervorzubringen oder Orkane, die in Kriegszeiten die Feinde angreifen würden.

Aber ganz gleich, ob uns zukünftig die Kontrolle über bestimmte Aspekte des Wetters beschert wird oder nicht: Die Moral von der Schmetterlingsgeschichte lautet, dass wir nie das Wetter für einen oder zwei Monate werden Vorhersagen können. Die zahllosen winzigen Einflüsse, die dabei am Werk sind, machen unsere Hoffnung zunichte, sie jemals messen zu können. Dabei verwandeln sie die Gegenwart auf so vielfältige Art und Weise, dass es im Laufe eines Monats zu einer gewaltigen Veränderung führen wird. Auch wenn unsere Computer die tausendfache Leistung von heute haben würden und wir dazu übergingen, uns die Handys ins Ohr zu implantieren, und Frieden auf der Welt herrschte, wüssten wir im April dennoch nicht, ob am 16. Juni unsere Hochzeitsfeier im Garten verregnet sein wird. Es wird immer einen unsensiblen Schmetterling geben, der sorglos umherflattert und unbeabsichtigt unsere Hochzeitsfeierlichkeiten ins Wasser fallen lässt.

Die Tatsache, dass wir die Zukunft nicht Voraussagen können, ist natürlich nicht gerade eine sensationelle Nachricht – fragen Sie jeden beliebigen Wertpapierhändler, der die Werbetrommel für Enron-Aktien rührte (sofern Sie einen finden sollten, der noch nicht hinter Gittern sitzt). Wir alle wissen, dass geringfügige Unterschiede in Zeit und Raum unser Leben dramatisch verändern können. Es ist eine Binsenweisheit, dass unsere Entscheidungen an den vielen Weggabelungen auf der Straße des Lebens unser Schicksal ein für alle Mal verändern. Die große neue Einsicht geht aus der Entwicklung einer mathematischen Betrachtung dieses einfachen Prinzips hervor. Die Konsequenzen dieser mathematischen Entwicklung veranlassen uns, die Stabilität aller möglichen Dinge von Pendeln bis zu Populationen neu zu überdenken.

Lebendige Mathematik
Mathematik entsteht, wenn man aus Lebenserfahrungen und Beobachtungen Konzepte ableitet. So entwickelte sich beispielsweise aus dem Schmetterlingseffekt das mathematische Chaos, das sich auf einfache mathematische Prozesse bezieht, in deren Verlauf geringfügige Veränderungen später zu dramatischen Unterschieden fuhren. Dabei kann das Wort Chaos leicht ins, na ja, Chaos abgleiten, weshalb wir uns über dessen unterschiedliche Bedeutungen klar sein sollten.

1. Chaos im Alltagsdeutsch: Das Wörterbuch definiert das Wort als einen Zustand äußerster Verwirrung und Unordnung; die völlige Abwesenheit von Organisation und Ordnung.
2. Chaos in der wirklichen Welt: Diese zweite Bedeutung wird durch den Schmetterling und das Wetter veranschaulicht. Das Chaos bezieht sich hier auf das Phänomen, dass eine winzige Veränderung zu einem gegebenen Zeitpunkt zuerst nur eine kleine Auswirkung auf die Situation hat, dann aber mit jedem folgenden Schritt in dem Prozess gesteigert wird. Letztlich ergibt sich daraus ein gewaltiger, aber theoretisch vorhersagbarer Einfluss auf die Zukunft. Mit anderen Worten: Der Schmetterlingseffekt verursacht nicht willkürliches, sondern anderes Wetter. Mit dieser Vorstellung ist die Redewendung Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen verknüpft.

3. Mathematisches Chaos: Die Bedeutung des Wortes hat mit wiederholten mathematischen Prozessen zu tun, zu deren Eigenschaften die Empfindlichkeit gegenüber Anfangsbedingungen gehört. Das heißt, mathematisches Chaos ist eine Ableitung des in Alltagssituationen auftretenden Schmetterlingseffekts. Es stimmt nicht mit dem im Allgemeinverständnis verankerten Chaos überein, da es weder mit Zufälligkeit noch mit Ungewissheit einhergeht. Stattdessen weicht ein mathematischer Prozess, obwohl er das Chaos völlig korrekt und deterministisch darstellt, sehr schnell von den Ergebnissen ab, die bei anderen Anfangspunkten erzielt werden, selbst wenn der Unterschied noch so geringfügig sein sollte.

Es ist diese dritte Bedeutung des Wortes, nämlich der mathematische Aspekt des Chaos, den wir im verbleibenden Abschnitt dieses Kapitels erforschen wollen.

Chaotisches Quadrieren
Das Wiederholen eines einfachen Verfahrens führt zu Komplexität. Zur Veranschaulichung dieser überraschenden Tatsache wollen wir zeigen, was geschieht, wenn wir wiederholt einen der denkbar einfachsten mathematischen Prozesse ausführen, nämlich eine Zahl mit sich selbst zu multiplizieren (das heißt, sie zu quadrieren) und anschließend 2 zu subtrahieren. Um Einsicht in dieses scheinbar vorhersagbare Verfahren zu bekommen, fangen wir mit ein paar einfachen Zahlenexperimenten an.

Wenn wir mit o anfangen, dann ist o zum Quadrat ebenfalls o, minus 2 ist gleich – 2. Der nächste Schritt ist: – 2 zum Quadrat ist 4, minus 2 ist 2. 2 zum Quadrat ist 4 minus 2 ist 2. An diesem Punkt stabilisiert sich der Prozess: Wie oft wir die Prozedur des Quadrierens und Subtrahierens von 2 auch wiederholen, das Ergebnis wird immer 2 lauten. Wenn wir mit der Zahl 1 anfangen, dann ist 1 im Quadrat minus 2 gleich -1; dann quadrieren wir – 1, was 1 ist, ziehen 2 davon ab und landen wieder bei – 1. Auch hier stabilisiert sich der Vorgang, wobei in diesem Fall der Output ewig – 1 bleiben wird. Lassen wir zum Schluss das Verfahren mit 3 beginnen. 3 im Quadrat ist 9, minus 2 ergibt 7. Als Nächstes sind 7 im Quadrat 49, minus 2 ist 47. 47 im Quadrat ergibt 2209, minus 2 ist 2207. Wir sehen also, wenn wir mit 3 anfangen, werden die erzielten Werte immer größer. Bei jedem der drei Beispiele wird eines klar: Es kommt nicht darauf an, wer das Quadrieren und Subtrahieren vornimmt – wer auch immer richtig multiplizieren und subtrahieren kann, wird genau die gleichen Werte auf seiner Liste stehen haben. Keine Chance für das Chaos. Aber wir geben noch nicht auf.

Schauen wir, was passiert, wenn wir die Prozedur mit einer Dezimalzahl wie 0,5 anfangen. Wir benutzen dabei ein Tabellenkalkulationsprogramm wie Excel, das uns eine einfache Methode liefert, wiederholt einen mathematischen Prozess anzuwenden, und uns gestattet, ganz einfach eigene Experimente durchzuführen. Tragen Sie also in Excel eine Zahl – in diesem Fall 0,5 – in die Zelle A1 am oberen Ende der Spalte ein. In die Zelle darunter, also in die Zelle A2, tragen Sie die Formel = AIa2 – 2 ein. Markieren Sie nun die A2-Zelle und die Spalte darunter. Die Ai-Zelle darf nicht markiert werden. Wenn Sie jetzt den Befehl Ausfüllen wählen, werden die aus dem Iterationsprozess – einem Wiederholungsverfahren – gewonnenen Werte die Zellen der Spalte ausfüllen. Sobald Sie einen anderen Wert in die erste Zelle der Spalte eintragen, verändert Excel automatisch die darunter liegenden Zelle.

Wir beginnen mit 0,5, tragen diesen Anfangswert ganz oben in die Spalte ein und lassen Excels digitale Magie wirken. Wir können die Spalte erweitern, bis wir Tausende künftiger Iterationen vor uns haben. Die erste Spalte von Abbildung 2.1 zeigt die ersten 52 Einträge. Was erkennen wir in diesem Zahlenmeer?

Wir blicken ins Chaos. Und in der Tat ist das Ergebnis sogar noch chaotischer, als es aussieht. Um das verborgene Chaos zu enthüllen, wollen wir nun das gleiche Verfahren des Quadrierens und des Subtrahierens von 2 in der B-Spalte anwenden, nur dass wir dieses Mal mit einer Zahl anfangen, die fast identisch ist mit 0,5 – sagen wir 0,50001. Die Ergebnisse sind in der zweiten Spalte von Abbildung 2.1. zu sehen. Nach ein paar Rechenschritten machen wir die verblüffende Entdeckung, dass die Zahlen in den beiden Spalten dramatische Unterschiede aufweisen. Demnach führt ein nahezu unbedeutender Unterschied im Anfangswert recht schnell zu ganz anderen Ergebnissen.

Spalte ASpalte B
0,50,50001
-1,75-1,74999
1,06251,062465
-0,87109375-0,871168124
-1,241195679-1,241066099
-0,459433287-0,459754937
-1,788921055-1,788625398
1,200238541,199180813
-0,559427448-0,561965379
-1,687040931-1,684194913
0,8461071030,836512505
-1,284102771-1,300246828
-0,351080073-0,309358186
-1,876742782-1,904297513
1,522163471,626349018
0,3169816290,645011127
-1,899522647-1,583960646
1,6081862860,508931328
0,58626313-1,740988903
-1,6562955431,031042361
0,743314925-0,936951651
-1,447482922-1,122121604
0,09520681-0,740843105
-1,990935663-1,451151493
1,9638248150,105840656
1,856607905-1,988797755
1,4469929121,955316512
0,0937884871,823262662
-1,991203721,324286736
1,964892253-0,24626464
1,860801568-1,939353727
1,4625824741,761092878
0,1391474931,101448125
-1,980637975-0,786812028
1,922926789-1,380926832
1,697647434-0,093041085
0,88206811-1,991343357
-1,2220639861,965448364
0 5065596141,86298727
1 2433973581,470721568
1.0394343470,16302193
0.919576239-1,97342385
1.1543795411,894401693
0.6674078751,588757773
-1.5545667280,524141261
0.416677713-1,725265455
-1,8263796830,976540891
-0.216005023-0,905114242
-1,953341829-1,180768208
1,815544302-0,605786439
1,296201113-1,633022791

Abbildung 2.1

Spalte ASpalte B
0,50,5
-1.75-1,75
1,06251,0625
-0,87109375-0,87109375
1,24119568-1,24119568
-0,45943329-0,45943329
-1,78892105-1,78892105
1,200238541,20023854
-0,55942745-0,55942745
-1,68704093-1,68704093
0,84610710,8461071
-1,284102277-1,284102277
-0,35108007-0,35108007
-1,87674278-1,87674278
1,522163471,52216347
0,316981630,31698163
-1,89952265-1,89952265
1,608186291,60818629
0,586263130,58626313
-1,65629554-1,65629554
0,743314920,74331492
-1,44748292-1,44748292
0,095206810,09520681
-0,199093566-0,199093566
1,963824821,96382482
1,85660791,8566079
1,446992911,44699291
0,093788490,09378849
-1,99120372-1,99120372
1,964892251,96489225
1,860801571,86080157
1,462582471,46258247
0,139147490,13914749
-1,98063798-1,98063798
1,922926791,92292679
1,697647431,69764743
0,882006810,88200681
-1,22206399-1,22206399
0,50655961-0,50655961
1.74339736-1,74339736
1.039434351,03943435
0.91957624-0,91957624
1.15437954-1,15437954
-0.66740787-0,66740787
-1,55456673-1,55456673
0.416677710,41667771
-1,82637968-1,82637968
1,335662751,33566275
-0,21600502-0,21600502
-1,95334183-1,95334183
1,296201111,29620111

Abbildung 2.2

Wir kopieren jede einzelne Ziffer, während Excel automatisch den Rest der Liste in der B-Spalte auf der Grundlage dieses Wertes in der zwölften Reihe vervollständigt. Da wir erneut denselben Wert eingegeben haben, erwarten wir, dass auch die künftigen Werte identisch sein werden.
Überraschung. Obwohl die beiden Spalten zunächst fast gleich bleiben, ändern sich die Werte schon bald maßlos (Abbildung 2.3).

So unterscheidet sich die letzte Zelle der Spalte A erheblich von dem letzten Eintrag in der B-Spalte. Hätten wir noch eine oder zwei Seiten dafür zur Verfügung gehabt, hätten wir sehen können, dass die Werte in der A- und B-Spalte sich nicht einmal im Entferntesten einander annähern. Wir hoffen daher, dass Sie sich aufgefordert fühlen, dieses Experiment zu versuchen, um sich seihst davon zu überzeugen, dass wir uns dieses Computerchaos nicht etwa ausgedacht haben.

Wir alle glauben, und das zu Recht, dass elektronische Geräte wie Taschenrechner und Computer keine zahlenrechnerischen Fehler machen. Das heißt, wenn sie zwei Zahlen addieren, werden sie stets das gleiche richtige Ergebnis liefern. Taschenrechner und Computer sind dafür geschaffen worden, Berechnungen korrekt auszuführen. Auf der Grundlage dieses Verständnisses wollen wir uns jetzt ein Beispiel ansehen, das sich als ziemlich bestürzend erweisen wird. Kehren wir also zu unserem Excel-Arbeitsblatt zurück und tragen, genau wie zuvor, 0,5 in die Ai-Zelle ein, tippen die Formel = AIa2 – 2 in die A2-Zelle ein und lassen uns von dem Programm die Werte in der A-Spalte ausfüllen (Abbildung 2.2).

Jetzt wiederholen wir genau die gleiche Prozedur in der B-Spalte. Wir meinen damit buchstäblich genau das gleiche Verfahren – wir beginnen mit 0,5 in der Bi-Zelle, tragen die Formel = AIa2 – 2 in die B2-Zelle und füllen die Spalte aus. Keine Überraschung: Excel erzeugt in jeder B-Zelle die gleiche Antwort wie in der entsprechenden A-Zelle.

Wieder registrieren Sie, dass beide Spalten identisch sind. Beide wiederholen den gleichen Prozess des Quadrierens und Subtrahierens von 2; beide beginnen mit 0,5 als Ausgangswert. Jetzt wollen wir etwas ganz Verrücktes tun. Wir wählen eine Reihe aus, sagen wir die zwölfte, und stellen fest, dass der Eintrag in A12 dem Eintrag in Bi 2 genau entspricht, wie es bei allen Einträgen der Fall ist. Jetzt wollen wir einfach alle Ziffern der Dezimalzahl in B12 neu eingeben – das heißt, wir tippen genau die gleiche Zahl, die wir anfangs in B12 sahen und die wir immer noch in A12 sehen können. Diese Aktion kommt uns völlig sinnlos vor, zumal es scheint, als täten wir überhaupt nichts Neues. Sei’s drum, wir machen es trotzdem.

Spalte ASpalte B
0,50,5
-1,75-1,75
1,06251,0625
-0,87109375-0,87109375
-1,241195679-1,241195679
-0,459433287-0,459433287
-1,788921055-1,788921055
1,200238541,20023854
-0,559427448-0,559427448
-1,687040931-1,687040931
0,8461071030,846107103
-1.284102771-1.284102771
-0,351080073-0,351080074
-1,876742782-1,876742782
1,522163471,52216347
0,3169816290,316981629
-1,899522647-1,899522647
1,6081862861,608186286
0,586263130,586263134
-1,656295543-1,656295538
0,7433149250,743314909
-1,447482922-1,447482946
0,095206810,095206878
-1,990935663-1,99093565
1,9638248151,963824764
1,8566079051,856607704
1,4469929121,446992167
0,0937884870,09378633
-1,99120372-1,991204124
1,9648922531,964893865
1,8608015681,860807899
1,4625824741,462606037
0,1391474930,139216419
-1,980637975-1,980618789
1,9229267891,922850786
1,6976474341,697355144
0,8820068110,881014484
-1,222063986-1,223813479
0.506559614-0,502280569
1.743397358-1,74771423
1.0394343471,054505031
0.919576239-0,88801914
1.154379541-1,211422008
-0.667407875-0,532456719
-1,554566728-1,716489842
0,4166777130,946337377
-1,826379683-1,104445568
1,335662748-0,780199986
-0,216005025-1,391287981
-1.953341829-0,064317753
1,815544302-1,995863227

Abbildung 2.3

Was ist hier passiert? Gerät unser Glaube an die Computertechnologie ins Wanken? Haben wir einen Fehler in unserer Computerhardware gefunden, oder haben uns die ach so freundlichen Herrschaften von Microsoft mit ihrer Excel-Software hängen lassen? Antwort: Nein, nein und nochmals nein.

Excel speichert mehr Ziffern einer Antwort, als es anzeigt. Folglich existieren trotz unserer neuen Eingabe aller angezeigten Ziffern auch noch nicht angezeigte und verborgene Ziffern, sodass die Excel bekannte Zahl in der ersten Spalte geringfügig von der Dezimalzahl abweicht, die wir in Reihe 12 der zweiten Spalte eingegeben haben. Natürlich unterscheiden sich die Zahlen erst nach etwa der zehnten Dezimalstelle, aber unser Prozess ist chaotisch. Während wir also mit unserer chaotischen Prozedur des wiederholten Quadrierens und Subtrahierens von 2 fortfahren, entdecken wir, dass die entsprechenden Ergebnisse rasch nichts mehr miteinander zu tun haben, was auf winzige Rundungsfehler von Ziffern zurückzuführen ist – Ziffern, die sich so weit rechts in der Dezimalzahl befinden, dass Excel sie nicht einmal anzeigt. In Wirklichkeit werden die schlechten Nachrichten aus diesem Bereich noch zunehmen.

Warum wir die Zukunft nicht Voraussagen können – Lotto und Glücksspiele Tipps Teil 2