Unaufhaltsame Zufälle – Wahrscheinlichkeit, Glücksspiele und doppelte Geburtstage Teil 2

Unaufhaltsame Zufälle – Wahrscheinlichkeit, Glücksspiele und doppelte Geburtstage Teil 1

Gutes Karma, falsches Denken
Manche Menschen glauben daran, sie hätten ein gutes Parkplatzkarma. Sie kommen in letzter Minute vor dem Kino an und finden immer einen Parkplatz direkt vor dem Eingang. Andere wiederum haben das Gefühl, an einer Krankheit zu leiden, die schlechtes Kundenschlangenkarma genannt wird: Sie stehen immer in der langsamsten Schlange an den Supermarktkassen. Eine Variante davon baut sich vor Verkehrsampeln auf. Warum erwischen manche von uns immer eine Rotphase, wenn sie es eilig haben? Gibt es etwa ausgebuffte Autoengel, die, über unsere Motorhaube grätschend, für eine Parklücke sorgen, wie es sich für verdiente Autofahrer gehört, und für den Rest der Meute die Ampeln auf Rot schalten?

So gern wir vielleicht an diese versponnene Vorstellung glauben möchten, die wirkliche Erklärung ist viel banaler und hat nichts mit Karma zu tun. In Wirklichkeit geraten wir genauso oft in die langsamen Schlangen vor der Kasse wie jeder andere Kunde auch, und manchmal haben wir eben, wie alle anderen auch, etwas mein Glück, Der Unterschied offenbart sich in der Frage, welches der beiden Ereignisse in unserem Gedächtnis haften bleibt.

Nehmen wir beispielsweise an, wir säßen im Auto in einer langen Schlange vor einer der Kabinen, in denen Straßenbenutzungsgebühren eingezogen werden, und beobachteten, wie die Autos in allen anderen Schlangen in schnellem Fluss dahinströmen, während ausgerechnet vor uns ein Fahrer nach dem anderen in der Reihe anhält und unter dem Fahrersitz nach Münzen für die Gebühr sucht. Während dieser langen Verzögerungen haben wir eine Menge Zeit. So sitzen wir da, denken nach und murmeln – so wird es vielen von uns ergehen – unangemessene Verwünschungen vor uns hin. Die Muße gibt unseren Gehirnen Zeit, das unangenehme Erlebnis in unser Gedächtnis einzubrennen. Und hier kommt das schlechte Karma ins Spiel. Aber wenn wir einmal ohne Verzögerung bis zur Gebührenstation durchkommen, sind wir so schnell unterwegs, dass die meisten von uns es nicht einmal registrieren und deshalb die Gelegenheit verpassen, das Glück zu würdigen, das wir gerade gehabt haben. Diejenigen unter uns, die zu Pessimismus oder Selbstmitleid neigen, erinnern sich an die Wartezeiten und fühlen sich im Würgegriff des schlechten Warteschlangenkarmas gefangen. Während die wenigen glücklichen Optimisten sich an die Augenblicke des Triumphes erinnern und sich in der Illusion des guten Karmas wiegen. Das Fazit lautet: Es gibt tatsächlich einen mit Ihrem Namen versehenen Superparkplatz direkt vor Ihrer Haustür … jedenfalls ab und zu.

Schlechtes Fahrstuhlkarma ist allerdings eine völlig andere Geschichte. Angenommen, wir arbeiteten im dritten Stockwerk eines zwanzigstöckigen Gebäudes und nähmen regelmäßig den Fahrstuhl zum siebzehnten Stock, um dort mit einer attraktiven Abteilungsleiterin zu flirten. Das Ärgerliche dabei ist, dass der erste Fahrstuhl, der auf unserem Stockwerk ankommt, fast immer weiter nach unten fährt. Schlechtes Karma? Nicht wirklich.

Es liegt schlicht und ergreifend an der Tatsache, dass es über uns mehr Stockwerke gibt als unter uns und der Fahrstuhl deshalb wahrscheinlich sich eher oben als unten aufhält. Saust nun ein Fahrstuhl am dritten Stock vorbei, so kommt er normalerweise von einem der vielen höheren Stockwerke und fährt nach ganz unten, um seine Gäste in der Eingangshalle abzuliefern. Deshalb ist schlechtes Fahrstuhlkarma weder Illusion noch Karma.

Ein wenig logisches Denken ist normalerweise verlässlicher, als dem Auf und Ab mystischer Einflüsse zu vertrauen. Es ist schon bemerkenswert, wie viele scheinbar unerklärliche Phänomene in die Kategorie Ach, jetzt hab ich’s kapiert fallen, wenn man die dahinter stehende Mathematik berücksichtigt. Es mag Leute geben, die dieses Tauschgeschäft als nicht wünschenswert betrachten: Sie haben das Gefühl, sie gäben etwas Geheimnisvolles, Unerklärliches und Wunderbares preis im Austausch gegen schlichtes, langweiliges, alltägliches Denken. Haben Sie keine Angst – es bleiben noch so manche Geheimnisse übrig auf der Welt.

Einen Sieger auswählen – Börsenexperten, Astrologen, Affen und. Wurfpfeile
Solange wir karmische Verwicklungen und die buchstäblichen Fähigkeiten von Affen betrachten, scheint es in Ordnung zu sein, die Weisheiten der Börsengurus zu analysieren. Manch einer sagt die Zukunft des Aktienmarkts voraus – Finanzberater mit Doktortitel, Geschäftsmagnaten, Astrologen, Affen mit Wurfpfeilen. Wie schneiden denn die Astrologen und Affen dabei ab? Wir wollen mit einem Szenario beginnen, in dem ein Finanzberater alles richtig macht.

Wenn wir am Montagmorgen unsere Computer anschalten, werden wir von vielen ungebetenen E-Mails überschwemmt mit Produktempfehlungen, die uns erröten lassen. Eine dieser nicht angeforderten Nachrichten aber stammt von den Investitionsberatern der Firma E. F. Nuttin. Wir öffnen die Mail und löschen den Rest. Die Botschaft ist kurz: Ende dieser Woche steigt der Kurs von Dell. Wir werfen diese Werbebelästigung natürlich in den elektronischen Papierkorb.

Am nächsten Montag wiederholen wir das Ritual, diejenigen E-Mails zu löschen, die uns versprechen, ein Vermögen anhäufen zu können. Auch von E. F. Nuttin’ ist wieder eine Botschaft dabei: Letzte Woche sagten wir korrekt voraus, dass der Kurs von Dell steigen würde. Am Ende dieser Woche wird der Kurs von Dell fallen. Wieder drücken wir die Löschtaste, aber dann ertappen wir uns dabei, wie wir die Börsenkurse nachprüfen, um herauszufinden, ob die Vorhersage von letzter Woche stimmte. Und sie stimmte tatsächlich.

Am nächsten Montagmorgen sind wir kaum überrascht, eine nicht erbetene Nachricht von E. F. Nuttin’ zu sehen. Wieder ist sie kurz und knapp: In den letzten beiden Wochen haben wir den Kurs von Dell exakt vorausgesagt. Am Ende dieser Woche wird Dells Kurs wieder steigen. Wir überprüfen ihre Behauptung der akkuraten Vorhersage und freuen uns schon mal auf den Rat für die nächste Woche.

Dieses Ritual wird jetzt neun Wochen nacheinander wiederholt, wobei E. F. Nuttin’ ein perfektes Vorhersageergebnis vorweisen kann. Hätten wir ihren Rat von Anfang an befolgt, hätte sich unser Vermögen vervielfacht. Am zehnten Montag wundern wir uns, weil wir entdecken, dass sich das Ritual geändert hat. Die Botschaft von E. F. Nuttin’ lautet jetzt: Wir haben neun Wochen in Folge den Kurs von Dell richtig vorausgesagt. Bitte überweisen Sie den Betrag von 1000 Dollar und schicken Sie uns das Überweisungsformular als E-Mail-Anhang, dann werden wir Ihnen unseren Rat schicken. Als zusätzlichen Anreiz bieten wir Ihnen eine Geld-zurück-Garantie an: Sie erhalten ihre 1000 Dollar vollständig zurück, falls unsere Vorhersage nicht stimmen sollte.

Offensichtlich. Aufgeregt überweisen wir die wirklich bescheidene Gebühr von 1000 Dollar, die für unser Gefühl beste Investition unseres jungen Lebens. Ungeduldig warten wir auf die Vorhersage, die pflichtbewusst sogleich in unserem E-Mail-Postfach eintrifft. Unsere Investitionsstrategie für die nächste Woche ist eindeutig – kaufen oder verkaufen wie empfohlen.

Überraschung. E. F. Nuttin’ hat eine systematische Spam-Attacke gefahren, und ihr Ratschlag ist wertlos. Wir wollen uns nun anschauen, wie die Firma es schaffte, zu solch eindrucksvoll korrekten Vorhersageergebnissen zu kommen.

In der ersten Woche verschickte E. F. Nuttin’ 1024 E-Mails an 1024 Adressaten. 512 Leuten sagten sie einen Kursanstieg für Dell in der kommenden Woche voraus, die anderen 512 erhielten die gegenteilige Nachricht. In der zweiten Woche verschickten sie 512 E-Mails – an jene, die in der ersten Woche die richtige Nachricht erhalten hatten. 256 Leuten prophezeiten sie einen Kursanstieg für Dell in der kommenden Woche, während die anderen 256 die Nachricht erhielten, Dells Kurs werde einbrechen. Zu diesem Zeitpunkt hatten 256 Leute richtige Vorhersagen künftiger Ereignisse für zwei aufeinanderfolgende Wochen erhalten. In der dritten Woche wurden 256 E-Mails verschickt – 128 sagten einen Kursgewinn, 128 einen Kursverlust voraus. In der vierten Woche gingen 128 E-Mails raus – 64 mit Kursgewinn, 64 mit Kursverlust. In der fünften Woche wurden nach demselben Schema noch 64 Leute angeschrieben, in der sechsten Woche 32, in der siebten Woche 16, 8 in der achten Woche und 4 in der neunten Woche (Abbildung 1.1).

In der zehnten Woche haben zwei Leute fehlerlose Vorhersagen für künftige Ereignisse über einen Zeitraum von neun Wochen erhalten. Jetzt bittet E. F. Nuttin’ beide zur Kasse für die Vorhersagen der nächsten Woche – 1000 Dollar mit Geldrückgabegarantie. Aus der Perspektive der beiden Empfänger durchgängig korrekter Vorhersagen wissen die Ratgeber von E. F. Nuttin’ ganz genau, was sie tun. Beide Investoren überweisen 1000 Dollar. Jetzt schickt E. F. Nuttin’ einer Person eine Gewinn-E-Mail und der an-deren eine Verlust-E-Mail als Vorhersage für die kommende Woche. In der nächsten Woche zahlt E. F. Nuttin’ die 1000 Dollar an den unglücklichen Investor zurück und streicht die anderen 1000 Dollar ein – ihr Verdienst für ihre phantastischen Kursvorhersagefähigkeiten.

Unaufhaltsame Zufälle1

Еs ist ein durchsichtiges Manöver, wirkungsvoll und zweifellos illegal. Allerdings ist genau dieses Prinzip irrtümlicherweise ständig am Werk. Denken Sie an die vielen tausend Menschen, die in der Öffentlichkeit ihre Prognosen über die Zukunft des Aktienmarktes abgeben. Natürlich glauben alle, ihre Vorhersagen gründeten auf gesundem, logischem Denken. Manch einer schaut auf das Kosten-Ertrags-Verhältnis (was immer das sein mag), andere grübeln über Muster in Diagrammen, während wieder andere sich mit einzelnen Firmen und deren speziellen Marktchancen auskennen. Und dann gibt es noch diejenigen, die die Stellung der Planeten zueinander in ihre Vorhersage der finanziellen Zukunft einbeziehen.

Natürlich spotten die meisten Leute: Der Börsenastrologe ist ein Scharlatan. Aber Tatsache ist, dass einige Astrologen, Hellseher und sogar Wertpapierhändler mit ihren Vorhersagen den Nagel auf den Kopf treffen. Warum? Weil es so viele von ihnen gibt, die aufs Geratewohl eine Meinung zum Besten geben, dass etliche rein zufällig erstaunlich richtig liegen – ab und zu stimmt das wirkliche Leben dann doch zufällig mit einer Vorhersage überein. Die Situation entspricht genau dem Beispiel mit dem E-Mail- Betrug. Nur dass es hier statt vieler E-Mails, die unterschiedliche Vorhersagen machen, viele Experten gibt, die alle eine bestimmte Prognose abgeben. Natürlich haben manche Analytiker gerechtfertigte Gründe für ihre Vorhersagen. Für Investoren liegt die Herausforderung darin, den Unterschied zwischen diesen wenigen und dem Rest herauszufinden, der genauso gut mit Wurfpfeilen auf eine Scheibe zielen könnte. Wir empfehlen daher Affen und Wurfpfeile – sie liegen manchmal richtig und haben den Vorteil, dass sie keine Provision verlangen. Und in der Tat kostet Sie ein Affe nur Peanuts.

Lottospielen
Niemand verliert gern. Demnach sind Lotterien auch so ein Ärgernis. In einem typischen staatlichen Lottospiel werden aus 49 Zahlen sechs gezogen. Sollten wir dumm genug gewesen sein, wieder einmal Geld für einen Lottoschein zu investieren, könnten wir uns nach der Ziehung für die Zahlen ohrfeigen, die wir angekreuzt haben. Wir sehen die gezogenen Zahlen und sagen: O nein, ich wusste, dass es diese Zahlen sein würden! Eine davon befindet sich genau in der Mitte meiner Handynummer, die andere ist der Geburtstag von Tante Hildchen. Warum habe ich bloß diese Verliererzahlen angekreuzt und nicht diese sechs Zahlen hier genommen? Es stellt sich heraus, dass es etwa 16 Millionen Möglichkeiten gibt, sechs Zahlen anzukreuzen. Vielleicht sollten wir deshalb nicht zu hart mit uns ins Gericht gehen, wenn wir nichts gewinnen. Denn in der Tat hat jemand, der bei 16 Millionen Möglichkeiten die richtigen sechs Zahlen ankreuzt, ein unglaubliches Glück. Diese Person hat aus 16 Millionen Möglichkeiten die eine richtige Wahl getroffen. Ein unfassbares Ereignis.

Warum sind wir dann nicht jedes Mal verblüfft, wenn jemand einen Sechser im Lotto hat? Natürlich ist dieser Gewinner selbst völlig überrascht und bekommt Herzrasen, (da er auf der Flucht vor dem Finanzamt ist). Wir aber sind nicht verblüfft, weil wir wissen, dass viele Millionen Menschen Lotto spielen, wenn der Jackpot die armseligen paar Millionen Euro überschreitet, mit denen er angefangen hat, und in den Bereich von 20 bis 30 Millionen rückt, was man schon eher als einen Haufen Geld betrachten kann. Wenn also etwa zwei oder drei Dutzend Millionen Menschen einen Versuch wagen, der eine Chance von 1 : 16 Millionen hat, wissen wir intuitiv, dass höchstwahrscheinlich einer den Jackpot knacken wird. Während einzelne wirkliche Gewinner ihre Glückssocken aufheben oder ihre Glücksunterwäsche nie wieder ausziehen (obwohl sie sich jetzt so viel saubere Unterwäsche leisten könnten, wie sie wollen), so wissen wir doch: Der verblüffende Zufall, dass es irgendeinen Gewinner gibt, ist ganz und gar nicht überraschend.

Das Entscheidende ist jedenfalls: Wenn es genügend Versuche gibt, treffen sogar sehr unwahrscheinliche Ereignisse ein. Verbinden Sie sich die Augen und werfen Sie ununterbrochen Pfeile in die Richtung, in der die Zielscheibe hängt. Es ist äußerst wahrscheinlich, dass Sie schließlich auch einmal ins Schwarze treffen werden. Was das Lottospiel betrifft, lautet die Moral: Wenn Sie Ihre Gewinnchance erhöhen möchten, sollten Sie statt nur eines Lottoscheins lieber ein paar Millionen Scheine ausfüllen. Wenn Sie mit Sicherheit gewinnen wollen und 16 Millionen Euro zur Verfügung haben sollten, dann kaufen Sie so viele Scheine, dass Sie jede mögliche Zahlenkombination ankreuzen können.

Überraschungspartys zum Geburtstag
Wir Menschen unterscheiden uns zwar in vielerlei Hinsicht, aber der Anfang ist für uns alle gleich – wir werden geboren. Jedes Jahr hat 365 Tage, ein Schaltjahr 366 Tage. Jeder Mensch ist an einem dieser 366 Tage geboren. Alle feiern wir unseren Geburtstag (oder zumindest so lange, bis wir alt genug sind, um es besser zu wissen). Und wenn unser Ehrentag da ist, dann wollen wir wie ein König oder eine Königin verwöhnt werden. Aus diesem Grunde ist es schon ärgerlich, wenn wir die Aufmerksamkeit, die uns am Geburtstag gilt, mit irgendeinem Konkurrenten teilen müssen. Unglücklicherweise und überraschenderweise zugleich ist es wahrscheinlich, dass es selbst in ziemlich kleinen Gruppen Menschen gibt, die ihren Geburtstag nicht für sich allein gepachtet haben. Übereinstimmende Geburtstage kommen viel häufiger vor, als die meisten Leute sich das vorstellen. Betrachtet man die Angelegenheit positiv, kann Ihr genaues Verständnis der überraschend hohen Quote gleicher Geburtstage zu gewinnbringenden Wetten mit denen führen, deren Intuition, was den Zufall betrifft, sagen wir, auf jeden Fall jugendlich naiver ist als Ihre eigene.

Wenn Sie sich das nächste Mal in einem Raum aufhalten, in dem mehr als 45 Leute anwesend sind, dann prahlen Sie ruhig mit Ihren Fähigkeiten, verblüffende Zufälle vorherzusagen, und verkünden Sie, dass Sie in dieser kleinen Versammlung mindestens zwei Menschen mit dem gleichen Geburtstag wittern. Wetten Sie mit Skeptikern oder Wahrsagern, die ansonsten im Kaffeesatz lesen; lassen Sie jeden sein oder ihr Geburtsdatum nennen, stellen Sie eine unglaubliche Übereinstimmung fest und sammeln Sie Ihre Gewinne ein. Die Skeptiker werden dann Ihren Börsentipp für das nächste Jahr hören wollen, und die Wahrsager werden auf Ihre Einsichten hoffen, welche Promi-Ehen demnächst den Bach heruntergehen werden.

Wie kommt es, dass Sie bei so wenigen Menschen derart selbstsicher diese verblüffende Übereinstimmung der Geburtstage feststellen konnten? Auf den ersten Blick scheint es ziemlich unwahrscheinlich zu sein, dass von 45 Leuten zwei den gleichen Geburtstag haben würden – immerhin gibt es 366 Tage, die zur Wahl stehen. Es stellt sich jedoch heraus, dass in einer willkürlich zusammengekommenen Gruppe dieser Größe eine Chance von 95 % besteht, dass zwei Menschen am selben Tag Geburtstag haben.

Um diese Wirklichkeit zu entmystifizieren, wollen wir ein wenig Erfahrung gewinnen. Der beste Weg dorthin führt über 45 Würfel mit je 366 Seiten (eine Seite für jeden Tag des Jahres). Wir werfen diese Würfel und stellen fest, wie oft wir wenigstens ein Pärchen würfeln. In der Tat erhalten wir bei 19 von 20 Durchgängen mindestens eine Übereinstimmung! Selbstverständlich haben nur sehr wenige Leute ständig fünfundvierzig dreihundertsechsundsechzigseitige Würfel bei sich, um jederzeit dieses verrückteste aller Würfelspiele spielen zu können. Deshalb müssen wir auf unser eigenes logisches Denken zurückgreifen.

Unser Ziel wird es sein, die Frage zu beantworten: Wie hoch ist die Chance, dass unter 45 Leuten zwei oder mehrere den gleichen Geburtstag haben? Betrachten wir die Frage von der anderen Seite, könnten wir fragen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 45 Leuten niemand mit irgendeinem anderen am selben Tag Geburtstag hat? Wenn wir eine von beiden Fragen beantworten können, ist sofort automatisch die andere Frage beantwortet. Und es stellt sich heraus, dass es leichter ist, die Wahrscheinlichkeit zu finden, dass niemand seinen Geburtstag mit einem anderen teilt – das heißt, die Chance, dass all diese Leute ihren eigenen Geburtstag haben.

Stellen wir uns also eine Versammlung von 45 Leuten vor. Wir beginnen mit der ersten Person und fragen sie nach ihrem Geburtstag. Wir schreiben die Antwort auf und fragen den Nächsten. Um eine Übereinstimmung zu vermeiden, muss diese Person einen anderen Geburtstag als die erste Person haben. Die Wahrscheinlichkeit, einen anderen Geburtstag zu haben, ist sehr groß, nämlich 365/366 oder 99,7%. Um erneut eine Übereinstimmung zu vermeiden, muss die dritte Person die ersten beiden Geburtstage verfehlen. Die Wahrscheinlichkeit dafür liegt bei 364/366 oder 99,4%, da diese Person 364 nicht belegte Geburtstage zur Verfügung hat. Jeder folgenden Person steht dann jeweils ein Geburtsdatum weniger zur Verfügung. Während wir uns allmählich dem Ende der Menschenschlange nähern, muss die 44. Person einen Geburtstag haben, der mit den 43 zuvor registrierten Daten nicht übereinstimmt. Diese Wahrscheinlichkeit beträgt 323/366 oder 88,3%, was immer noch eine gute Chance ist. Die letzte Person hat eine Chance von 322/366 oder 87,9%, um keinen der vorangegangenen Geburtstage zu haben. Die Aussichten jedes Einzelnen, an keinem der anderen Geburtstage geboren zu sein, sind deshalb ziemlich gut – aber las wollen wir ja eigentlich gar nicht wissen. Der Punkt ist loch: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle diese Leute einen eigenen Geburtstag haben? Und diese Chance stellt sich als ziemlich gering heraus.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass alle diese Menschen unterschiedliche Geburtstage haben, multiplizieren wir die individuellen Chancen, die wir gerade eben schon bewältigt haben: 365/366 X 364/366 X … X 323/366 X 322/366. Sie werden feststellen, dass jede dieser Zahlen ein Bruchteil geringer als 1 ist, so- dass wir bei der Multiplikation einer Reihe von Brüchen, die kleiner als 1 sind, auch ein extrem kleines Resultat erzielen. (Sollte es Ihnen nicht einleuchten, warum das Ergebnis so klein ausfällt, stellen Sie sich vor, eine Torte in Stücke aufzuteilen. Wenn Sie eine halbe „Porte noch einmal halbieren und dann eines jener Stücke noch einmal halbieren, haben Sie ein Achtel der Torte: ½ X ½ X ½ = 1/8.) Grob gesagt, kommen alle diese Teilstücke auf durchschnittlich 0,935, sodass eine Schätzung des Produktes der 44 Teilstücke sich auf etwa 0,93 544 x 0,05 oder 5 % beläuft. Das heißt, die Chance, dass alle Geburtstage unterschiedlich sind, beträgt 5 %. Sodass die Alternative, mindestens eine Übereinstimmung zu finden, zu 95 % wahrscheinlich ist. Diese einfache arithmetische Übung offenbart, dass selbst in kleinen Gruppen einige Leute die Aufmerksamkeit, die sie an ihrem Geburtstag erfahren, mit jemand anderem teilen müssen. Diese Koinzidenz ist nahezu sicher!

Magie
Die Tatsache, dass Koinzidenzen häufig Vorkommen, bringt unsere Intuition durcheinander, weil jeder einzelne Zufall schon ein wahrhaft seltenes Ereignis ist. Das erstaunliche und unerwartete Erlebnis einer seltenen Koinzidenz verführt uns manchmal dazu, seltenen Geschehnissen eine magische Bedeutung zuzuschreiben. Wollte man seltenen Ereignissen eine Bedeutung beimessen, begäbe man sich direkt an die Quelle von allerlei mystischen Dummheiten. In Wirklichkeit ist allein schon das Leben jedes Individuums eine lange Kette unglaublich unwahrscheinlicher Ereignisse – unser gesamter Lebensweg ist von Magie erfüllt. Betrachten Sie zum Beispiel die unglaubliche Ereigniskette, die Sie zu diesem Sportwetten-Portal und zu dieser Seite führte. Denken Sie, während Sie genau diesen Satz lesen, der sich mit dem Thema Zufall beschäftigt, an all die unwahrscheinlichen Umstände, die Sie dazu brachten, sich mit dem Thema Zufall zu beschäftigen. Was für ein bemerkenswerter Zufall!