Wahrscheinlichkeit und Statistik bei Texas Holdem Pokerspielen – empfehlenswerte Information

Ich kenne niemanden, der zugeben würde, schlecht im Bett zu sein. Kein Mensch bezeichnet sich selbst als furchtbaren Liebhaber. Dennoch ist ein hoher Prozentsatz der Bevölkerung in Sachen Sex völlig unbedarft. Wie lässt sich dieser Widerspruch erklären? Nun, nennen wir es falsche Selbsteinschätzung. Dieses Phänomen gibt es auch unter Pokerspielern. Es gibt nur sehr wenige Pokerbegeisterte, dir sich für schlechte Spieler halten. Und doch findet man in allen Kartentischen der Welt Stammspieler, deren Könnt n und Spielverständnis gegen Null streben und deren dauerhaft negative Bilanz keinerlei Raum für Zweifel lässt. Beim Poker ist die krasse Diskrepanz zwischen Realität und Selbstwahrnehmung in erster Linie auf Ignoranz und ein übersteigertes Ego zurückzuführen. Mein Freund David Enteles ist das perfekte Beispiel.

David Enteles und ich kennen uns vom College. Er spielte gelegentlich in meiner Vassar-Pokerrunde mit. David ist ein netter, sehr humorvoller und schlagfertiger Mensch und obendrein eine absolut schräge Erscheinung. Um sich ein Bild von seinem Äußeren zu machen, müssen Sie sich einen weißen Chris Rock mit Bruce Willis’ zurückgehendem Haaransatz vorstellen. Das eigentlich Bemerkenswerte an ihm ist jedoch, dass er ein grottenschlechter Pokerspieler ist, vielleicht sogar der schlechteste, den ich kenne. Keine Anekdote und keine Statistik wären in der Lage, seinem stümperhaften Spiel auch nur annähernd gerecht zu werden. Wäre er ein blutiger Anfänger oder litte er unter einer psychischen Krankheit, brächte man für seinen dilettantischen Umgang mit den Karten vielleicht noch Verständnis auf. Aber medizinisch gesehen ist er kerngesund. Wenn man bedenkt, dass er seit über zehn Jahren pokert, kommt einem fast der Verdacht, er spiele absichtlich so schlecht. Selbst nach zehn Jahren hält es dieser selbst ernannte König der Karten noch für nötig, eine Liste mit der Rangfolge der Kartenkombinationen neben sich auf den Tisch zu legen.

Seine Spielstrategie ähnelt der Strategie der USA bei ihrem Abzug aus Vietnam. Er hat keine, so erschreckend das auch ist. Sein Spiel spottet allen Regeln der Vernunft. Ich will ein kurzes Beispiel geben. Als ich ihm einmal beim Seven Card Stud über die Schulter guckte, wurde ich Zeuge, wie er in der letzten Bietrunde mit Ass hoch mitging, obwohl sein Gegner ein offenes Paar Neun hatte.
Ich fragte ihn, weshalb er mitgehe, obwohl er keinerlei Gewinnchancen habe. David antwortete: Ich will nicht, dass die anderen denken, ich hätte schlechte Karten. Diese Geschichte ist vor allem deshalb interessant, weil David im ersten Halbjahr 1999 in meiner Dienstagsrunde mehr Geld gewann als alle anderen. Man könnte dieses Phänomen vielleicht als pures Glück abtun, aber glaube nicht an Glück. Er spielte wie ein Besessener, bei von einer göttlichen Macht geführt wurde, die ihn gewinnen ließ.

Viele gewohnheitsmäßige Pokerspieler sind sehr einsam. Das Spiel ist ihr Sozialleben. Es treibt sie aus dem Haus und bringt sie unter Menschen. Die meisten dieser einsamen Kartenspieler sind sehr gesprächig, und die Pokerrunde ist oft ihre einzige Gelegenheit, sich mit einem anderen Lebewesen als ihrem Haustier zu unterhalten. Natürlich sind diese Leute nicht interessant, nur weil zu viel reden. Manche sind stolze Eltern oder Großeltern, dir ständig mit den Leistungen ihrer Sprösslinge angeben. Andere sind Aufschneider und prahlen pausenlos damit, was für hervorragende Spieler sie seien und mit was Größen sie schon gespielt hätten. Die schlimms in Gesprächspartner sind jedoch die, die den Tisch Rund und in allen erdenklichen Variationen mit Geschichten über die Bad Beats ergötzen, die sie in ihrem Leben stecken mussten. Sie erzählen, wie sie letzten Monat, während ihres Urlaubs in Mississippi, mit dem Flop den best möglichen Flush bekamen und trotzdem 80 Dollar verloren, weil ein anderer mit dem River die einzige Karte am Deck erhielt, die ihm einen Straight Flush einbrachte.

In jedem Hinterzimmer und in jedem Kartenclub auf dieser Welt wimmelt es von Geschichten über Bad Beats. Diese Leute begreifen nicht, dass jeder Kartenspieler schon mit einem tollen Blatt unglücklich verloren hat und bloß nicht darüber redet. Aber Dave ist ein besonderer Fall, und deshalb will ich eine Bad-Beat-Geschichte aus meinem eigenen Spielerleben erzählen. Meine Kommilitonen und ich spielten Seven Card Stud. Ich bekam einen Siebener-Drilling (zwei verdeckte Siebenen und eine offene). David hatte Mistkarten, nämlich 3, 6, 9 von verschiedener Farbe (ein Rainbow). Nach dem Spiel meinte er: Was soll ich sagen? Das Raubtier in mir erwachte zum Leben, und mein Blatt stimmte mich sehr zuversichtlich.

Also ging er mit, als ich den Höchstbetrag setzte. Die anderen Spieler kannten mich als ziemlich seriösen Kartenspieler und passten. Die fünfte Karte (Fifth Street) brachte mir ein offenes Königspaar ein, was zusammen mit den drei Siebenern ein Full House ergab. Da mein Königspaar offen auf dem Tisch lag und ich in jeder Runde wie ein Verrückter geboten hatte, hätte eigentlich jedem klar sein müssen, dass ich ein ziemlich starkes Blatt hielt. Doch als ich David hinterher in einer kurzen Analyse seine abscheuliche Spielweise vor Augen führen wollte, erklärte er mir, dass er in dem Augenblick, als ich mein Königspaar bekommen hätte, gewusst habe, dass er mich kriegen würde. David hatte zu diesem Zeitpunkt aus seinem Kartenwirrwarr ein Paar Sechs zusammengeklaubt. Das war alles. Er hatte keinen Flush Draw, sondern nur einen merkwürdigen 3er-Straight, aber auch der war vollkommen nutzlos, da ich bereits ein Full House hatte.

Da ich vorne lag, bot ich munter weiter, und er ging mit. Später meinte David selbstkritisch, er hätte mit seinem Paar Sechs unbedingt gegen mein Full House erhöhen müssen, aber es spiele eben niemand perfekt. Aber selbst wenn er mich nur auf mickerige zwei Paare gesetzt hätte das offene Königspaar und ein halb offenes, halb verdecktes), hätte er dagegen nur ein niedriges Paar und nicht einmal eine Over-Card zu bieten gehabt. Nur mit einem Ass, der einzigen Karte, die mehr Wert gewesen wäre als meine Könige, hätte er auf eine höhere Zwei- Paare-Kombination als ich ziehen können. Und als ob seine Lage nicht schon finster genug war, hatte zu Beginner der anderen Spieler die dritte Sechs als offene Karte erhalten, sodass Davids Chancen auf einen Vierling dahin waren. Ihm blieb nur noch eine einzige Möglichkeit, um /u gewinnen. Die letzten beiden Karten mussten ihm zwei der drei Neuner bringen, die noch im Deck lagen. Dann wurde sein Full House (drei Neuner und zwei Sechser) meines (drei Siebener und zwei Könige) schlagen.

Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses war kinderleicht zu berechnen. Zuerst musste David sich überlegen, viele Karten er noch nicht gesehen hatte. Bis zu die Zeitpunkt kannte er seine eigenen fünf Karten, meine drei offenen und die vier offenen Karten der Spieler, die nach der ersten Bietrunde gepasst hatten. Wenn man diese zwölf von den zweiundfünfzig Karten im Deck abzieht, bleiben vierzig unbekannte Karten übrig (für uns sind es nur achtunddreißig, weil wir, im Gegensatz zu David, meine beiden verdeckten Karten kennen). Da die drei übrigen Neuner noch lebend, das heißt bislang nicht zu sehen waren, standen Daves Chancen, eine davon zu halten, bei 3:40 = 0,075 oder 7,5 Prozent. In der nächsten Runde (Sixth Street) bekam er zwei weitere Karten zu sehen (seine und meine offene Karte), sodass noch achtunddreißig unbekannte Karten übrig blieben. Dafür reduzierten sich seine Gewinnkarten auf zwei, denn er bekam tatsächlich eine Neun.

Somit standen seine Chancen, sich mit den letzten beiden Karten zu verbessern, bei 2:38 = 0,052 oder gut fünf Prozent. Aber es wurde noch schlimmer, denn meine offene sechste Karte war ebenfalls eine Neun. Damit blieb ihm eine einsame Neun, um das Spiel zu gewinnen. Seine quasi nicht existenten Gewinnchancen standen bei 1:38 oder gut 2,5 Prozent. Doch natürlich bekam David seine einzige Gewinnkarte mit der River-Card. Ich erzähle diese Geschichte nicht, um über David herzuziehen. Ich bin auch nicht sauer auf diesen Mistkerl. Ich erzähle sie, um einen ganz bestimmten Punkt zu veranschaulichen. Seine Chancen auf einen Runner-Runner (zwei notwendige Karten in Folge) und den Potgewinn, lagen bei (3 : 40) x (1 : 38) = 0,0019. Das entspricht einer unvorstellbar winzigen Gewinnchance von knapp 2:1000. Wem das noch nicht hoffnungslos genug klingt, der sollte sich ins Gedächtnis rufen, dass meine Chancen, mein Blatt zu verbessern, weitaus höher lagen. Ich konnte immer noch auf eine Sieben und zwei Könige im Deck bauen. Alles in allem standen Davids Gewinnchancen nach der Fifth Street bei 2000:1 gegen ihn.

In Anbetracht dieser minimalen Gewinnchance war die Summe im Pot bei weitem zu gering, um ein Weiterspielen zu rechtfertigen. David hätte passen müssen. Aber er gewann das Spiel, und somit lässt sich schwerlich behaupten, es sei ein Fehler gewesen, weiterzuspielen. Die widersprüchliche Bewertung einer Situation wie dieser macht das Wesen des Glücksspiels aus. Um herauszufinden, ob David tatsächlich richtig gehandelt hat, müssen wir zunächst einige weitere Faktoren verstehen. Diese heißen Wahrscheinlichkeit, Statistik und Religion. Ohne eine mathematische Erklärung ist eines ganz gewiss: Wenn Sie lange genug am Glücksspiel teilnehmen, verändert sich mit zunehmender Erfahrung zwangsläufig Ihre Vorstellung von Gott. Gelingt es Ihnen, drei Spiele HI Folge einen Inside Draw auf einen Straight zu ziehen, werden Sie sich für auserwählt halten. Verlieren Sie aber /uni dritten Mal, obwohl Sie drei Asse halten, werden Sie mit dem Gefühl nach Hause gehen, unter einem Fluch zu stehen. Das gehört zum Pokern dazu.

Deshalb kursieren so viele Geschichten über Pokerspieler, die mitten in einer Partie konvertierten. Einmal erlebte ich mit, wie Chip, ein protestantischer Pastor, der regelmäßig in den Club kommt, gelobte, mehr Zeit auf die Lektüre der Tora zu verwenden, nachdem er zweimal untereinander mit einem Königspaar als Pocket-Cards luden gegangen war. Kurz nach seinem Gelöbnis langte Chip (Holy Chip, für alle, die ihn kennen) mächtig zu und setzte fünf Riesen. Es ist die grausame, mitleidlose Art, wie die Karten verteilt werden, die den Glauben an die Pokergötter nährt. Die Pokergötter sind so real, wie Sie es zulassen, egal, ob Sie glauben oder Atheist sind. In jenen sechs Monaten 1999, als David Enteles fast jedes Spiel gewann, lebte er in einträchtigem Frieden mit den Pokergöttern. So, das war der religiöse Aspekt seiner Gewinnsträhne; jetzt müssen wir uns um die Wahrscheinlichkeit kümmern.

Es ist natürlich richtig, dass Pokern eine Menge mit Feeling zu tun hat und dass es die dem Spiel eigenen Finessen wie das Lesen der Körpersprache sind, die es einem geübten Gegner ermöglichen, Ihr Blatt zu durchschauen. Wenn man aber sämtliche Strategien und die Populärpsychologie außen vor lässt, ist Poker im Grunde ein mathematisches Spiel. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Zweig der Mathematik, der Mitte des siebzehnten Jahrhunderts von den französischen Mathematikern Pierre de Fermat und Blaise Pascal begründet wurde. Ein französischer Adliger, der vom Glücksspiel fasziniert war, machte die beiden auf einen strittigen Punkt aufmerksam. Der Adlige hatte in einem Würfelspiel, das damals in Frankreich sehr populär war, einen Widerspruch entdeckt. Er wollte sich vergewissern, ob die Ausschüttung, die das Haus den Spielern anbot, tatsächlich der Wahrscheinlichkeit entsprach, mit der ein bestimmtes Ereignis eintrat.

In besagtem Spiel musste der Spieler vier und zwanzig mal hintereinander zwei Würfel werfen. Gelang ihm ein Sechserpasch, gewann er die doppelte Einsatzsumme. Der Adlige wollte wissen, ob das eine faire Gewinnquote sei. Diese Frage begründete die Zusammenarbeit von Fermat und Pascal, die daraufhin die Grundprinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung formulierten. Als Fermat und Pascal kurz vor Beendigung ihrer Arbeit standen, machten sie eine überaus interessante Entdeckung: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung war lediglich ein mathematisches Gerüst, um Zufallsphänomene zu verstehen und vorherzusagen. Sie war kein definitiver Beweis von der Art Wenn A = B und B = C dann A = C, der zu einer absoluten, konkreten Schlussfolgerung führte.

Bei einer Konferenz, die ich zum Thema Wahrscheinlichkeitsrechnung organisierte, erläuterte Marco Avellancila, Professor für Mathematik an der NYU, den Unterschied zwischen einem Beweis und einer Theorie: Ein Beweis ist ein mathematisches Argument, mit dessen Hilfe verifiziert werden soll, ob eine Behauptung wahr oder falsch ist. Ein Beispiel: Beweise, dass die Summe der ersten natürlichen Zahlen gleich N x (N + 1): 2 ist. Eine Theorie ist hingegen ein Gerüst, um über wissenschaftliche Probleme nachzudenken. Im als Theorie zu gelten, muss es ein neues Gedankenmodell liefern, das kompliziert erscheinende Probleme vereinfacht. Ein ideales Beispiel ist die Theorie der Schwerkraft, die auf elegante Weise erklärt, wie die Planeten um die Sonne kreisen.

I he Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein wissenschaftliches Hilfsmittel, das uns einen Ausblick in die Zukunft ermöglicht. Die enorme Vielzahl möglicher Ereignisse UM jedoch einen Haufen Zukunftsentwürfe zu, und niemand kann Vorhersagen, welche Zukunft eintreten wird. Wenn Sie ein einziges Mal eine Münze werfen, liegen die dass sie auf Kopf landet, nach der Wahrscheinlichkeitsrechnung bei 50:50. Aber wird sie auch auf Kopf landen? Das ist eine Frage, die zu beantworten man besser der Philosophie als der Wissenschaft überlässt. So gesehen, weist die Wahrscheinlichkeitsrechnung eine starke Ähnlichkeit zur Religion auf. Sie besitzt einige faktische Komponenten, die der Mathematik und den Wissenschaften entlehnt sind, aber entscheidend für ihre Anerkennung ist der Glaube. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist schlicht und einfach ein allgegenwärtiges Phänomen, das über alles gebietet, was mit Zufall zu tun hat.

Obwohl Mathematiker die Wahrscheinlichkeitsrechnung anerkennen, sind sie nicht in der Lage, sie zu beweisen. Das stellt ihre Existenz aber keineswegs in Frage. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine beständige Größe, die dafür sorgt, dass in der Mojave-Wüste Milliarden- Dollar-Hotels wie Pilze aus dem Boden schießen, die monegassischen Staatsbürger ein steuerfreies Leben führen und die Scheidungsrate bei amerikanischen Glücksspielern explodiert. Wendet man die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf das reale Leben an, gelangt man als Erstes zu folgendem Schluss: Nichts, was mathematisch denkbar ist, ist völlig unmöglich. Ich habe eine übergewichtige Neufundländerhündin namens Calamity, die man nach allen Maßstäben der Intelligenz nur als minderbemittelt bezeichnen kann. Calamity ist neun, und bis jetzt konnte ich ihr sieben Worte beibringen.

Eins davon ist ihr Name, und die anderen acht sind Synonyme für Futter. Immer, wenn ich bei mir zu Hause ein Kartenspiel herumliegen lasse, nimmt sie die oberste Karte ins Maul und bringt sie mir. Manche Hunde springen instinktiv in einen eiskalten Fluss, um ein Kind zu retten. Calamity bringt mir Spielkarten. Fragen Sie mich nicht wieso. Einmal saß ich nach einer Pokerrunde, die bei mir zu Hause stattgefunden hatte, mit einem Häuflein Übriggebliebener zusammen und unterhielt mich mit ihnen über das Spiel. Plötzlich bemerkte ich, dass Calamity das Kartendeck im Nachbarzimmer beäugte. Ich rief: Calamity, bring mir die Kreuz 7. Kurz darauf kam Calamity mit einer Karte im Maul. Ich nahm sie ihr ab und drehte sie um. Zur allgemeinen Überraschung war es die Pik 7.

Meine Freunde waren völlig perplex. Ich weiß, sagte ich, sie kann die Farben nicht richtig auseinander halten. Daran arbeiten wir noch. Das Entscheidende ist, dass jedes mögliche Ereignis irgendwann innerhalb eines ausreichend langen Zeitraums eintreten wird. Wenn David Enteles lange genug am Kartentisch ausharrt, wird selbst er irgendwann in eine fantastische Glückssträhne stolpern. Ein Straight Flush Zehn ist beim normalen Five Card Draw ein wahres Monsterblatt. Es ist quasi unschlagbar, und dennoch kommt es tagtäglich vor, dass ein armer Wicht damit verliert.
Ein weiterer wichtiger Punkt, den wir nicht außer Acht lassen dürfen, ist, dass Statistiken sich nicht immer auf das Alltagsleben anwenden lassen. Statistiken sind, kurz gesagt, nicht immer aussagekräftig. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung gewinnt erst an Bedeutung, je häufiger man an einem Glücksspiel teilnimmt.

Das Beschränken auf wenige Stichproben kann die Ergebnisse hingegen komplett verfälschen. Nehmen wir als Beispiel das Werfen einer Münze. Werfen wir die Münze zweimal, gehen wir davon aus, dass sie einmal auf Kopf und einmal auf Zahl fällt. In Wahrheit verhält es sich mit den möglichen Ergebnissen jedoch viel komplizierter. Die folgende Tabelle stellt die möglichen Ergebnisse dar, die sich durch zweimaliges Werfen einer Münze erzielen lassen:

Ergebnis Ergebniswahrscheinlichkeit
KK 25%
ZZ 25%
KZ 25%
ZK 25%

 

Ergebnis Ergebniswahrscheinlichkeit
KKKK 6,25 %
KKKZ 6,25 %
KKZK 6,25 %
KKZZ 6,25 %
KZKK 6,25 %
KZKZ 6,25 %
KZZK 6,25 %
KZZZ 6,25 %
ZKKK 6,25 %
ZKKZ 6,25 %
ZKZK 6,25 %
ZKZZ 6,25 %
ZZKK 6,25 %
ZZKZ 6,25 %

Um die Chancen auf ein gemischtes Resultat zu errechnen (Kopf/Zahl oder Zahl/Kopf), braucht man nur die beiden Wahrscheinlichkeitswerte zu addieren. Die Tabelle zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, ein gemischtes oder ein reines Ergebnis zu erzielen, gleich groß ist. Sie liegt in beiden Fällen bei 50:50. Verdoppeln wir die Anzahl der Würfe, stellen wir hingegen fest, dass sich die Wahrscheinlich-keit, ein exaktes Mischergebnis (zweimal Kopf, zweimal Zahl) zu erhalten, verändert.

Ergebnis Ergebniswahrscheinlichkeit
ZZZK 6,25 %
ZZZZ 6,25 %

Die Chancen auf ein echtes Mischresultat sind in der Tat .ml 57,5 Prozent gesunken. Dafür – und das ist extrem wichtig – ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ergebnis zu erzielen, das dem erhofften Ereignis nahe kommt, enorm gestiegen. Im ersten Versuch standen die Chancen, entweder nur Zahl oder nur Kopf zu erzielen, bei 50 Prozent. Bei einer Verdopplung der Wurfanzahl sinken sie auf 12,5 Prozent.
Hier sehen Sie das Ergebnis eines Versuchs, bei dem die Münze fünfzigmal geworfen wurde:

ZZKKKZKZKKKKZKZKKKKKZZKZ
ZZKZKZZZZKKZKKZZZZKKKZZKZZ

Die Münze fiel fünfundzwanzig Mal auf Kopf und fünfundzwanzig Mal auf Zahl – ein perfektes Ergebnis. Nach nur zwei Würfen hätten wir dagegen zweimal Zahl und somit ein verzerrtes Resultat erhalten. Außerdem fiel die Münze in den ersten zwanzig Würfen vierzehnmal auf Kopf. Würden Sie Ihr Leben damit verbringen, eine Münze zu werfen, würden Sie feststellen, dass sie in 50 Prozent aller Fälle auf Kopf landet. Je öfter Sie Ihr Glück versuchen und je mehr Runden Sie spielen, desto mehr steigt die Wahrscheinlichkeit, dass die Statistik Recht behält. Über einem kurzen Zeitraum kann dagegen alles Mögliche passieren.

Das ist für gewöhnlich der größte Fehler, den ein Spieler machen kann. Manche Menschen versuchen, ein bevorstehendes Ereignis vorherzusagen, indem sie in die Vergangenheit schauen. Es gibt Spieler, die nach einer verlorenen Wette ihren Einsatz verdoppeln, weil sie sich einbilden, die Chancen stünden nun zu ihren Gunsten oder das Spiel würde ihnen etwas schulden. Betrachten Sie die Sache so: Die Chancen, dass die Kugel beim Roulette zweimal hintereinander auf die 13 fällt, stehen bei 1:1444 (38 x 38). Aber selbst nach dreizehn Versuchen stehen die Chancen, dass die Kugel beim nächsten Mal endlich auf die 13 fällt, immer noch bei mageren 1:38.

Cliff Hurvich, ein Mathematikprofessor von der Columbia University, sagt dazu Folgendes:
Wenn Sie sich die Zahlen anschauen, auf denen die Roulettekugel in den letzten Runden gelandet ist, werden Sie sehr wahrscheinlich ein System entdecken. Menschen sind sehr gut im Systeme entdecken. Das ist eine wichtige Fähigkeit, um zu überleben. Beim Roulette aber sind die Systeme, die wir zu erkennen glauben, reine Illusion. Sie werden sich nicht fortsetzen, wenn das Rad sich weiterdreht. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung sagt uns, was im Durchschnitt passieren wird, wenn wir das Rad viele Male drehen. Aber es gibt kein Gesetz der Serie, das uns nach einer Niederlage in einem fair geführten Spiel sagt, dass wir bald wieder gewinnen und unsere Verluste wettmachen werden. Im Gegenteil, wenn sich ein Spieler wiederholt an einem fairen Spiel beteiligt, ist die Zahl der Runden, die er voraussichtlich warten muss, um zu seinem anfänglichen Glück zurückzukehren, sehr, sehr hoch, nämlich unendlich.

Die längste außergewöhnliche Glücksspielserie, von der ich je gehört habe, gab es an einem Roulettetisch in Monte CarIo. Die Kugel soll angeblich 28-mal hintereinander auf Schwarz gelandet sein. Europäische Tische haben nur ein Feld – die grüne 0 -, das weder rot noch schwarz ist.
Amerikanische Tische haben die 0 und die 00.) Die Chancen, dass die Kugel auf Schwarz landet, stehen bei 18 : 37 oder 48,6 Prozent. Die Chancen, dass sie zweimal in Folge auf Schwarz landet, stehen demnach bei 18 : 37 x 18 : 37 oder (18:37)2, was 23,7 Prozent entspricht. Der Exponent steht für die Anzahl der Versuche. Also stehen die Chancen, dass die Kugel 28-mal hintereinander auf Schwarz fällt, bei (18 : 37)28 oder 0,0000000017 Prozent; d.is entspricht einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 1:600 000 000.

Jeder Dummkopf, der mit ansah, wie die Kugel zehnmal hintereinander auf Schwarz fiel und glaubte durch Setzen auf Rot schnelles Geld machen zu können, verlor in den nächsten 18 Runden. Wie gesagt: Nichts, was mathematisch denkbar ist, ist völlig unmöglich. Ein Spieler betritt ein Casino, um einen einzigen Wett- • ins.it/. zu tätigen. In knapp der Hälfte der Fälle wird er das Casino als Gewinner verlassen. Das gilt für beinahe |i des Spiel. Machen Sie ein einziges Spiel gegen Doyle Brunson, und Sie haben eine ansehnliche Chance, ihn zu besiegen. Dieses Phänomen bezeichnet man als das Gesetzt. der kleinen Zahlen. Casinos bleiben im Geschäft und Doyle wohnt in einer Millionen-Villa, weil beide mit großen Zahlen operieren. Doyle spielt mehrere zehn- I in send Partien Poker im Jahr. Je mehr er spielt, desto mehr bewahrheiten sich die Statistiken und desto größer wird die Wahrscheinlichkeit, dass er gewinnt.

Die Casinos machen Profit, weil das Haus in jedem Spiel einen statistischen Vorteil hat. Der Hausvorteil beim Roulette entsteht durch die Gewinnquote. Wenn Sie beim amerikanischen Roulette auf Zahl setzen, haben Sie eine Gewinnchance von 1:38. Aber wenn die Götter des Glücksspiels freundlich gestimmt sind und Sie gewinnen lassen, zahlt die Bank Ihnen nur den 35-fachen Einsatz aus. Das schafft ein Ungleichgewicht. Betrachten wir die Sache ganz rational. Eine Gewinnchance von 1:38 impliziert, dass Sie, wenn Sie das Rad 38-mal drehen und jedes Mal einen Dollar auf die 4 setzen, einmal gewinnen. Für diesen Aufwand zahlt die Bank Ihnen 36 Dollar (die 35, die Sie gewonnen haben plus den 1 Dollar Einsatz). Das Gesetz der Serie hat also gehalten, was es verspricht, und trotzdem haben Sie nichts gewonnen. Im Gegenteil, Sie haben 38 Dollar ausgegeben, um 36 Dollar zu gewinnen. Ganz gleich, welche Strategie Sie anwenden, Sie befinden sich auf dem Verliererposten. Alle Casinobesucher sitzen im selben Boot, weil das Verhältnis von Risiko und Ertrag diskrepant ist.

Man kann sich ziemlich leicht ausrechnen, wie es einem Spieler ergeht, der 100 Einsätze zu einem Dollar tätigt. Die Gewinnchancen stehen bei 1:38, die Gewinnquote liegt bei 35:1, und die Chancen zu verlieren stehen bei 37:38. Es ist ein wenig kompliziert, die folgende Formel zu erklären, obwohl sie vollkommen einleuchtend ist. Begnügen wir uns damit, dass eine Tafel und viel Kreide benötigt wurden, bis sie wie folgt aussah:

35 x (1: 38) – 1 x (37 : 38) = -0.0526

Das bedeutet, dass bei einhundert Rouletteeinsätzen von je einem Dollar der zu erwartende Gewinn minus 5,26 Cent beträgt. Damit hat das Haus einen deutlichen Gewinnvorteil von 5,26 Prozent.
Beim Blackjack gibt es den Hausvorteil, weil das Casino selbst dann gewinnt, wenn beide Spieler bankrott gehen. Beim Baccarat und beim Pai-Gow kassiert das Haus einfach einen Anteil am Spielgewinn. Das sind die kalten unbarmherzigen Fakten, die das Glücksspielgeschäft zu einer sicheren Sache für das Haus machen.

Daher war der Casinobesitzer Benny Binion ein Abtrünniger seiner Zunft, als er an seinen Tischen neue Regeln einführte und die Wettlimits hochschraubte. Wenn man damals 100 Dollar setzen wollte und das Limit bei 10 Dollar lag, musste man zehnmal den Limitbetrag setzen, um den gewünschten Einsatz zu tätigen. Wenn das Tischmaximum aber auf hundert Dollar angehoben wird, muss man nur einen einzigen Einsatz tätigen, und das schneidet dem Haus ins Fleisch-Nehmen wir an, ein Blackjackspieler bedient sich einer gut durchdachten Strategie, die dem Haus einen Vorteil von 51:49 einräumt. Die folgende Tabelle stellt das Verhältnis zwischen dem zu erwartenden Gewinn und der Anzahl der Spiele dar:

Anzahl Chance, in Chance,
der Spiele Führung zu gleichauf zu
liegen in % liegen in %
5 48,12 0
10 35,26 24,56
15 46,86 0
Anzahl Chance, in Chance,
der Spiele Führung zu gleichauf zu
liegen in % liegen in %
20 37,70 17,54
25 45,97 0
30 38,49 14,36
35 45,25 0
40 38,77 12,43
45 44,63 0
50 38,84 11,11
55 44,07 0
60 38,80 10,13
65 43,56 0
70 38,69 9,37
75 43,10 0
80 38,54 8,75
85 42,66 0
90 38,37 8,23
95 42,25 0
100 38,19 7,80

Bitte beachten Sie den Unterschied zwischen gerader und ungerader Spielanzahl. Dieser kommt zu Stande, weil es nach einer ungeraden Anzahl Spiele unmöglich ist, gleichauf zu liegen. Nach fünf Spielen stehen die Chancen des Spielers, gegenüber dem Haus in Führung zu liegen, bei 48,12 Prozent. Nach 95 Spielen sind die Chancen jedoch auf 42,25 Prozent gesunken. Je mehr Sie also spielen, desto mehr steigt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie verlieren. Aus diesem Grund betrachten Pokerspieler ihren Zeitvertreib nicht als Glücksspiel. Wenn man im privaten Rahmen pokert, gibt es kein Casino mit Hausvorteil.

Es wird kein Geld vom Tisch abgezogen, und alle Spieler haben statistisch gesehen die gleiche Chance, die besten karten zu kriegen. Casinos verdienen am Poker geringfügig, indem sie eine Gebühr erheben, die so genannte laxe. Eine durchschnittliche Taxe beträgt beim 10-20 Stud oder Hold’em fünf Dollar pro halbe Stunde. Dafür befinden sich die Kartenräume meistens tief im Inneren des Casinos, sodass ein siegreicher Pokerspieler gezwungen ist, an möglichst vielen Spieltischen vorbeizugehen. Es ist nicht ungewöhnlich, dass ein Gast sich beim Pokern mit mäßigen Einsätzen mühselig 300 Dollar erspielt und sie dann mit zwei Würfen am Würfeltisch in Sekundenschnelle wieder verliert. Abschließend müssen wir uns vergegenwärtigen, dass die Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht berücksichtigt, welches Spiel wir spielen.

Beim Poker liegt die Wahrscheinlichkeit, dass wir beim Geben ein ganz bestimmtes Blatt (eine beliebige Kombination aus fünf Karten) erhalten, bei 1:2598 960. Die Wahrscheinlichkeit, auf einen Schlag einen Straight Flush der Farbe Pik oder die Kombination 7♥ 6♠ 5♦ 3♣ 2♦ zu bekommen, ist also exakt gleich hoch. Der einzige Unterschied entsteht durch die Ranghierarchie der Kombinationen, die ein Blatt attraktiver macht als ein anderes. Diese Hierarchie folgt Statistischen Erhebungen über die Wahrscheinlichkeit, mit der die einzelnen Kombinationen Vorkommen.
Wahrscheinlichkeit, ein Blatt beim Geben zu erhalten

Bitte beachten Sie den Unterschied zwischen gerader und ungerader Spielanzahl. Dieser kommt zu Stande, weil es nach einer ungeraden Anzahl Spiele unmöglich ist, gleichauf zu liegen. Nach fünf Spielen stehen die Chancen des Spielers, gegenüber dem Haus in Führung zu liegen, bei 48,12 Prozent. Nach 95 Spielen sind die Chancen jedoch auf 42,25 Prozent gesunken. Je mehr Sie also spielen, desto mehr steigt die Wahrscheinlichkeit, dass Sie verlieren. Aus diesem Grund betrachten Pokerspieler ihren Zeitvertreib nicht als Glücksspiel. Wenn man im privaten Rahmen pokert, gibt es kein Casino mit Hausvorteil.

Es wird kein Geld vom Tisch abgezogen, und alle Spieler haben statistisch gesehen die gleiche Chance, die besten karten zu kriegen. Casinos verdienen am Poker geringfügig, indem sie eine Gebühr erheben, die so genannte laxe. Eine durchschnittliche Taxe beträgt beim 10-20 Stud oder Hold’em fünf Dollar pro halbe Stunde. Dafür befinden sich die Kartenräume meistens tief im Inneren des Casinos, sodass ein siegreicher Pokerspieler gezwungen ist, an möglichst vielen Spieltischen vorbeizugehen. Es ist nicht ungewöhnlich, dass ein Gast sich beim Pokern mit mäßigen Einsätzen mühselig 300 Dollar erspielt und sie dann mit zwei Würfen am Würfeltisch in Sekundenschnelle wieder verliert. Abschließend müssen wir uns vergegenwärtigen, dass die Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht berücksichtigt, welches Spiel wir spielen.

Beim Poker liegt die Wahrscheinlichkeit, dass wir beim Geben ein ganz bestimmtes Blatt (eine beliebige Kombination aus fünf Karten) erhalten, bei 1:2598 960. Die Wahrscheinlichkeit, auf einen Schlag einen Straight Flush der Farbe Pik oder die Kombination 7♥ 6♠ 5♦ 3♣ 2♦ zu bekommen, ist also exakt gleich hoch. Der einzige Unterschied entsteht durch die Ranghierarchie der Kombinationen, die ein Blatt attraktiver macht als ein anderes. Diese Hierarchie folgt Statistischen Erhebungen über die Wahrscheinlichkeit, mit der die einzelnen Kombinationen Vorkommen.
Wahrscheinlichkeit, ein Blatt beim Geben zu erhalten

Zahl der Bezeichnung Wahrscheinlichkeit
möglichen der Blätter , das Blatt
Zusammenstellungen beim Geben zu
erhalten
4 Royal Straight Flush 1:649739
36 Straight Flush 1: 72193
624 Vierling 1: 4164
3 744 Full House 1: 693
5108 Flush 1: 508
10200 Straight 1: 254
54 912 Drilling 1: 46
123552 Zwei Paare 1: 20
1098 240 Ein Paar 1 : 2,4
1302540 Kein Paar 1: 2

 

 
Leif Jensen, Professor für Wahrscheinlichkeitslehre und Statistik an der Columbia University, hat aufgezeigt, dass die Wahrscheinlichkeitsrechnung folgende Aussagen über das Pokerspiel zulässt:
1. Die erste Karte ist mit gleich hoher Wahrscheinlichkeit jede beliebige Karte aus dem Deck.
2. Die zweite Karte ist mit gleich hoher Wahrscheinlichkeit jede beliebige Karte aus dem Deck, minus der ersten, die bereits gegeben wurde. Und so weiter.

Betrachtet man obige Tabelle genauer, kann man sich ausrechnen, dass die Chancen, ein Full House zu erhalten, bei 3744:2598 960 liegen. Es ist also jederzeit möglich, ein Full House zu bekommen oder auch nicht. Das sagt ins die Statistik. Was man mit dem Wert 3744 : 2 598 960 anstellt und weshalb man sein Full House ausgerechnet /u einem bestimmten Zeitpunkt bekommt, sind Fragen, ihr in den Bereich der Philosophie gehören. Ein Menschenleben ist viel zu kurz für die unendliche Zeitspanne, die man brauchen würde, um auf eine Gewinnchance von 1:1 zu kommen. Dennoch wird es immer Menschen geben, die ohne erklärbaren Grund ihr ganzes I eben lang den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit trotzen. Es sind keine hoch begabten Genies, und sie besitzen weder telekinetische Kräfte noch sonstige übersinnliche Fähigkeiten. Es scheint einfach so, als würde das Gesetz dci Serie sie übersehen. Tief in mir drin weiß ich, dass David Enteles, sollte er 2598 960 Pokerspiele im Leben v halfen, weit mehr als den gerechten Anteil von 3744 Full Houses absahnen wird. Wollen Sie wissen warum? Dann haben wir etwas gemeinsam. Wenn Sie Lust haben, mailen Sie ihm doch unter [email protected]*net. Er wird Ihnen ganz sicher gern erzählen, wie man sich fühlt, wenn man etwas Besonderes ist.