Verarbeitung der Lebensdaten und statistische Überraschungen bei Lotto Teil 2

Verarbeitung der Lebensdaten und statistische Überraschungen bei Lotto Teil 1

Wiedersehensfeier
Ein weiteres Rätsel, das unserer Intuition zuwiderläuft, taucht überraschenderweise in einem Wiedersehensszenario auf. Angenommen, wir nehmen 25 Jahre nach unserem Universitätsabschluss an einem Wiedersehen mit den Kommilitonen von einst teil, die wir ebenso lange nicht mehr gesehen haben. Als Erstes fällt uns auf, dass alle alt geworden sind. Unglücklicherweise betrachten uns die anderen mit der gleichen mitfühlenden Bestürzung. Interessant ist auch der folgenden Dialog zwischen zwei Bekannten von damals, den wir zufällig belauschen:
Bob: Joe erzählte mir, dass du zwei Kinder hast.
Betty: Das stimmt.
Bob: Ich glaube, er hat erwähnt, dass dein ältestes Kind ein Junge ist.
Betty: Auch das ist richtig. Ich muss gestehen, ich wusste nicht, dass Joe ein solcher Quatschkopf ist.

Im selben Augenblick legt sich das Würstchen im Schlafrock, das Betty während ihres Geständnisses herunterschlucken wollte, quer. Sie hustet und würgt, und ihr Gesicht zeigt Farbenspiele, die sich mit dem Blau ihres Kleides beißen. Während wir beobachten, wie Bob mit sanften Schlägen auf Bettys Bauch – eine Situation, von der er immer geträumt hatte – das Würstchen aus der Luftröhre zu befreien versucht, müssen wir uns doch sehr wundern. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Betty sowohl einen Jungen als auch ein Mädchen hat?
Und während wir noch über das Rätsel grübeln, hören wir wieder ganz zufällig ein weiteres Gespräch:

Victor: Hör mal, Joe erzählte mir, du hast zwei Kinder. VIOLET: Das stimmt.
Victor: Ich meine, er erwähnte auch, dass eines deiner Kinder tatsächlich Victor heißt?
Violet: Stimmt auch. Victor ist ein typischer Teenager, aber verdammt nochmal, kann Joe denn nicht einfach mal die Klappe halten?

In diesem Augenblick der Unterhaltung ergeht es Violet genauso wie kurz zuvor ihrer früheren Zimmergenossin Betty – auch sie glaubt plötzlich, ihre Vorspeise sei ungenießbar. Während sie noch vergeblich vor sich hin hustet, erinnern wir uns an die Zeile: Violets are blue (Veilchen sind blau). Und schon wieder fragen wir uns: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Violet einen Jungen und ein Mädchen hat?

Erwartete Gleichheit. Auf den ersten blauen Blick scheint es, als ginge es in diesen leicht unterschiedlichen Dialogen um ein und dasselbe. In beiden Fällen wissen wir, dass eines der Kinder ein Junge ist, während das Geschlecht des zweiten Kindes das unergründbare Geheimnis unserer nach Luft ringenden Exkommilitonin bleibt. Natürlich stehen die Chancen 50 : 50 oder ½ , dass Betty und Violet einen Jungen und ein Mädchen haben, zumal ein Kind definitiv ein Junge ist und das andere Kind mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein Junge oder ein Mädchen ist.

Überraschung. In Wirklichkeit ergeben sich nämlich aus diesen nahezu identischen Dialogen zwei recht unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsszenarios. Um den Unterschied festzustellen, werden wir die Unterhaltung Zeile für Zeile genau analysieren. Zu Beginn jedes Gesprächs erfahren wir, dass unsere frühere Kommilitonin zwei Kinder hat. Zu diesem Zeitpunkt wissen wir noch nichts über das Geschlecht ihrer Kinder, sodass es vier gleichermaßen wahrscheinliche Möglichkeiten gibt.
1. Das ältere Kind ist ein Mädchen, und das jüngere ist ebenfalls ein Mädchen.
2. Das ältere Kind ist ein Mädchen, und das jüngere ist ein Junge.
3. Das ältere Kind ist ein Junge, und das jüngere ist ebenfalls ein Junge.
4. Das ältere Kind ist ein Junge, und das jüngere ist ein Mädchen.

Betty enthüllt in ihrem Gespräch mit Bob, das ältere Kind sei ein Junge. Angesichts dieser neuen Information wissen wir, dass die Möglichkeiten Nr. 1 (älteres Mädchen, jüngeres Mädchen) und Nr. 2 (älteres Mädchen, jüngerer Junge) nicht stimmen können. Während sie mit dem Würstchen in ihrem Hals kämpft, erhalten wir keine weiteren Informationen. Deshalb stellen wir fest, dass es zwei gleichermaßen große Wahrscheinlichkeiten für Bettys Kinder gibt, nämlich die beiden verbleibenden Möglichkeiten: entweder Nr. 3 (älterer Junge, jüngerer Junge) oder Nr. 4 (älterer Junge, jüngeres Mädchen). Da es zwei gleichermaßen wahrscheinliche Möglichkeiten gibt, wovon eine bedeutet, dass Betty einen Jungen und ein Mädchen hat, schlussfolgern wir richtigerweise, dass die Wahrscheinlichkeit, Betty sei die Mutter eines Jungen und eines Mädchens, V2 sei (das heißt eine von zwei Möglichkeiten).

In dem Dialog zwischen Violet und Victor erfahren wir ebenfalls recht früh, dass Violet zwei Kinder hat, sodass wir auch hier wieder vier gleichermaßen wahrscheinliche Chancen berücksichtigen müssen. Dieses Mal jedoch erfahren wir, dass Violet mindestens einen Sohn hat. Mit diesem neuen Wissen ausgestattet, können wir Möglichkeit Nr. 1 (Mädchen, Mädchen) schon einmal streichen. Die anderen drei Möglichkeiten sind alle noch vorstellbar, denn der Junge, von dessen Existenz wir wissen, könnte entweder das ältere oder das jüngere Kind sein. Unter diesen drei Möglichkeiten kommen zwei Varianten mit je einem Jungen und einem Mädchen in Frage. Daraus schließen wir: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 2/3, dass Violet sowohl einen Jungen als auch ein Mädchen hat (zwei von drei Möglichkeiten).

Diese Wiedersehensgeschichte beschreibt auf faszinierende Art und Weise zwei Situationen, die in ihren wesentlichen Merkmalen anscheinend übereinstimmen – von zwei Kindern ist eines ein Junge, und wir kennen nicht das Geschlecht des anderen Kindes. Und dennoch gibt es dramatische Unterschiede zwischen den beiden Fällen. Wollten wir Geschenke für die Kinder kaufen, würde uns das Wissen um die Unterschiede in beiden Situationen dazu ermutigen, einen Football-Helm und ein Ballettröckchen für Violets Kinder zu kaufen statt eines Paars Genitalschützer. Oder aber wir kaufen Rechenschieber für beide Familien.

Aber wenn wir einmal von den Mätzchen und der Husterei absehen, veranschaulichen die Wiedersehensszenarios eine analytische Strategie, die eine wirksame Methode klaren Denkens darstellt: Wir sollten die Angelegenheit klären und die wesentlichen Bestandteile isolieren. Obwohl wir bei beiden Kinderpaaren die Geschlechter nicht mit Sicherheit aufschlüsseln können, lassen sich rechnerische Maßnahmen ergreifen, die uns intelligente Schätzungen gestatten.

Zum Schluss dieses Kapitels wollen wir zwei ernsthafte, aus dem wirklichen Leben gegriffene Fälle anbieten, die die ganze Raffinesse veranschaulichen, die mit dem Wahrscheinlichkeitsbegriff einhergeht. Auch hier zwingt uns eine sorgfältige Analyse der Daten jedes einzelnen Falls dazu, die Angelegenheit in einem neuen Licht zu betrachten.

Luftsicherheit
Der vermutlich sicherste Ort, an dem wir uns aufhalten können, ist das Verkehrsflugzeug einer amerikanischen Fluggesellschaft, das 10000 Meter über dem Meeresspiegel fliegt. Der Absturz eines Verkehrsflugzeugs ist so selten, dass jeder Einzelfall jahrelang in unserem kollektiven Gedächtnis haften bleibt. Natürlich sind all diese Abstürze Tragödien, sodass jeder verantwortungsbewusste Bürger sich fragen müsste, wie die Luftfahrt noch sicherer gestaltet werden könnte. Wir wollen daher die Möglichkeiten überprüfen, die Sicherheit von Verkehrsflugzeugen zu verbessern.

Da fragen wir uns zunächst, wie sicher die Flugzeuge eigentlich sind. Wir quantifizieren diese Vorstellung, indem wir die Zahl der Menschen berücksichtigen, die bei Abstürzen von Verkehrsflugzeugen gestorben sind. Außerdem wollen wir bestimmen, wie viele Passagiermeilen durchschnittlich pro Todesfall zurückgelegt worden sind. (Eine Passagiermeile ist eine zurückgelegte Meile pro Passagier – folglich schlägt ein 2000-Meilen-Flug mit 100 Fluggästen an Bord mit 200000 Passagiermeilen zu Buche.) Die Unterlagen sind ziemlich beeindruckend. Die Maschinen amerikanischer Verkehrsfluglinien legen täglich annähernd 1,7 Milliarden Passagiermeilen zurück. Innerhalb der letzten zehn Jahre hat es bei Verkehrsflugunfällen durchschnittlich etwa 183 Tote pro Jahr gegeben, was einem Toten alle zwei Tage oder alle 3,4 Milliarden Passagiermeilen entspricht.

Natürlich liegt das Spektakuläre und Schreckliche von Flugzeugunfällen nicht darin begründet, dass die Menschen, gleichmäßig über das Jahr verteilt, einer nach dem anderen sterben.

Stattdessen ereignet sich ein einziger tragischer Unfall, bei dem Hunderte von Menschen umkommen. Dann geschieht ein Jahr gar nichts, bis ein neuer tragischer Unfall passiert. Ein Massensterben pro Jahr bleibt eher im Gedächtnis haften als die unauffällige Rate von einem Toten alle zwei Tage.

Wir wollen jetzt die Rate von einem Toten auf 3,4 Milliarden Passagiermeilen in einem anderen Licht betrachten. Nehmen wir an, eine bestimmte Person fliegt täglich 1000 Meilen. Durchschnittlich betrachtet, müsste sie 3,4 Millionen Tage im Flugzeug unterwegs sein – nämlich 3,4 Milliarden Tage geteilt durch 1000 -, bevor sie bei einem Flugzeugunglück ums Leben käme. So viele Tage summieren sich schnell auf 10000 Jahre. Dieser Person stehen lange Wartezeiten bevor, und sie muss sich durch einen Riesenberg winziger Brezeln in Zellophantüten kämpfen, bevor sie in ein potenzielles Unglücksflugzeug steigt.

Fluggesellschaften zeichnen sich durch ihre phänomenale Sicherheit aus. Allerdings könnte man sie noch sicherer machen. Bessere Wartung, bessere Ausbildung und medizinische Untersuchungen der Piloten, bessere Geräte und Methoden für die Luftverkehrsüberwachung sowie interessantere Filme an Bord würden insgesamt die Luftfahrt sicherer machen. (Na gut, der letzte Punkt ließe das Fliegen lediglich erträglicher werden.) Wie auch immer, vielleicht könnten wir es mit Fleiß und Eifer schaffen, die Luftfahrt zehnmal sicherer zu machen, als sie es heute ist. Das hieße, die durchschnittliche Zahl der Toten pro Jahr würde von 183 auf 18 sinken. Eine solche Politik könnte 165 Menschen pro Jahr das Lehen retten. Eines davon könnte Ihres sein, also sollten wir über diese großartig klingende Idee nachdenken.

Unbeabsichtigte Konsequenzen. Aber man muss beide Seiten der Medaille sehen. In diesem Fall sollten wir nämlich im Auge behalten, welche Auswirkungen unser wunderbarer Vorschlag zur Sicherheit von Fluggesellschaften haben könnte. Die Flugsicherheit hat ihren Preis, und der heißt Bargeld. Die Preise für Flugtickets würden steigen. Und wenn das geschieht, werden einige Leute, die heute noch fliegen, damit aufhören und einige dieser Nichtflieger sich entscheiden, mit dem Auto zu ihrem Zielort zu fahren. Oh-oh …

Wir wollen nun unseren Denkbereich um diese Menschen er-weitern, die jetzt zusätzlich unsere Autobahnen verunsichern, statt sich in 10000 Meter Höhe mit Tütenbrezeln zu bewerfen. Nehmen wir einmal rein theoretisch an, dass 10% der Leute, die früher geflogen sind, sich nun aufgrund der höheren Kosten oder der größeren Schikanen für das Autofahren entscheiden. Also werden in unserem neuen System täglich zusätzliche 170 Millionen Passagiermeilen gefahren statt geflogen. Welche Auswirkungen wird das haben? Um die Konsequenzen dieser Zunahme des Autoverkehrs zu berechnen, stellen wir zuerst fest, dass tödliche Autounfälle 34-mal häufiger pro Passagiermeile Vorkommen als im Luftverkehr. Folglich haben diese zusätzlichen 170 Millionen Passagiermeilen pro Tag eine ganz reale Konsequenz. Und da auf alle 100000000 (einhundert Millionen) Passagiermeilen ein Autoverkehrstoter kommt, können wir in der Tat durchschnittlich mit 1,7 Autoverkehrstoten mehr pro Tag rechnen als vor dem Inkrafttreten unserer neuen Luftsicherheitspolitik. Deshalb kämen wir im Laufe eines ganzen Jahres auf insgesamt etwa 620 zusätzliche Autoverkehrsopfer. Natürlich gäbe es auch 165 weniger Luftfahrttote, aber im Endergebnis würden wir 455 mehr Tote zu beklagen haben als vor unseren Sicherheitsmaßnahmen. Hoppla.

Warum weniger sichere Fluglinien Leben retten können.
Wenn das Fliegen auffallend billiger wäre, würden viele Leute fliegen, die heute noch Auto fahren. Im Endeffekt liefe das auf die Rettung von Menschenleben hinaus. Eine Strategie zur Kostenreduzierung wäre die Lockerung bestimmter Aspekte der Luftfahrt, die zur Sicherheit beitragen – etwa die Qualität der Flugzeuge, Wartungsstandards, Regelungen, wie nahe sich die Maschinen in der Luft kommen dürfen, wie häufig sie auf Flughäfen abheben und landen dürfen und Ähnliches mehr. Macht man die Luftfahrt auf Kosten der Sicherheit billiger, würden insgesamt wohl weniger Menschen sterben, weil eben weniger Reisende in den wesentlich gefährlicheren Autos unterwegs wären. Und die Moral dieser paradoxen Geschichte ist: Wir sollten stets die unbeabsichtigten Konsequenzen erforschen – vor allem wenn es um öffentliche politische Entscheidungen geht.

HIV/Aids – weitverbreiteter Test, weitverbreitetes Trauma
Die Krankheit Aids (erworbenes Immunschwächesyndrom) ist das Ergebnis einer Infektion mit HIV (menschliches Immunschwächevirus). Seit mehr als zwei Jahrzehnten ist Aids eine weltweite Epidemie. Es ist die Haupttodesursache unter jungen Menschen. Angesichts dieser schweren Krankheit und der Tatsache, dass Menschen mit einer HI V-Infektion die Aids-Symptome viele Jahre lang nicht unbedingt zeigen müssen, würde uns ein IIIV-lest mit wichtigen Informationen für den Kampf gegen die Krankheit sowohl auf der individuellen als auch auf der gesellschaftlichen Ebene versorgen. Vielleicht sollten wir uns für eine Politik einsetzen, dass jeder Mann, jede Frau und jedes Kind in den Vereinigten Staaten getestet wird. Bevor wir uns jedoch für eine solche Politik engagieren, sollten wir einen Blick auf die Statistik werfen.

Hier sind die ernüchternden Zahlen. Im Jahr 2001 litten annähernd 42 Millionen Menschen weltweit an HIV/Aids. Ungefähr 3,1 Millionen Menschen starben infolge der Krankheit. In den Vereinigten Staaten leben rund 500000 Menschen mit dem Virus.

HIV-Tests sind ziemlich verlässlich. So erzielt der Blutuntersuchungstest ELISA beispielsweise eine Testgenauigkeit von 95% bei Menschen, die die Krankheit tatsächlich haben. Und er erfasst zu 99% die Getesteten, die nicht erkrankt sind. Das klingt beruhigend und suggeriert, ein Reihentest könnte uns verlässliche Ergebnisse über die Infizierten liefern, sodass man diese Leute vor Verhaltensweisen warnen könnte, die die Krankheit weiterverbreiten würden. Sollten wir also angesichts all dieser Daten eine allgemeine Testreihe für HIV/Aids organisieren?

Betrachten wir die Konsequenzen eines solchen Programms. Nehmen wir an, eine beliebige Person macht den Test und bekommt dann die befürchtete Nachricht, der Test sei positiv ausgefallen. Die Frage ist doch: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem positiven Testbescheid tatsächlich HIV- positiv ist? Die Verlässlichkeit des Tests scheint diese Frage zu beantworten. Erinnern wir uns, dass der Test für eine nichtinfizierte Person nur in 1 % der Fälle ein (falsches) positives Ergebnis liefert, während er in 99 % der Fälle zu einem (wahren) negativen Ergebnis kommt. Diese Statistik scheint also zum Ausdruck zu bringen,
dass eine Person mit positivem Testergebnis zu 99 % sicher sein kann, HlV-positiv zu sein.

Wenn wir uns jedoch die Zahlen etwas genauer vornehmen, gelangen wir überraschenderweise zu anderen Schlussfolgerungen. Hier sind ein paar Fakten:
1. Die Bevölkerung der Vereinigten Staaten von Amerika beträgt ungefähr 280000000.
2. Die Zahl der HI V-positiven Menschen in den USA beläuft sich auf etwa 500000.
3. 279500000 Amerikaner (das sind 280000000 minus 500000) sind nicht infiziert.
4. Von den 500000 mit dem Virus Infizierten wird der Test die Krankheit in 95 % der Fälle bestätigen – das heißt, für 475 000 Personen.
5. In einem Prozent der Fälle wird der Test für die 279500000 nicht Infizierten ein falsches positives Resultat ergeben – das sind 2 795 000 Menschen.
6. Die Gesamtzahl der Menschen, die einen Positivbescheid bekommen, beläuft sich auf 3270000 (das sind 475000 plus 2 795000).
7. Von den 3 270000 Menschen, die positiv getestet werden, sind eigentlich nur 475 000 tatsächlich mit dem Virus infiziert.

Deshalb besteht für eine Person, die ein positives Testergebnis bekommt, nur die Wahrscheinlichkeit von 475000 zu 3270000, tatsächlich infiziert zu sein. Für eine Person mit positivem Testergebnis besteht also zu weniger als 15% die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich die Krankheit zu haben. Folglich haben wir es hier mit einem eigenartigen Paradoxon zu tun: Der Test hat zwar eine Genauigkeit von 99 %, aber wenn eine Person positiv getestet wird, ist die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich infiziert zu sein, geringer als 15%. Wie kann das sein?

Eine Möglichkeit, der Lösung des Rätsels auf die Spur zu kommen, liegt in der Einsicht, dass es annähernd 475 000 Menschen in den USA gibt, die das Virus haben und ein positives Testergebnis erhalten, während insgesamt ungefähr 3 300000 Menschen positiv getestet werden. Also kann nur ein von sieben positiven Testergebnissen richtig sein.

Beachten Sie, dass ein positives Testergebnis unsere Beurteilung der Wahrscheinlichkeit, tatsächlich erkrankt zu sein, erheblich verändert. Da nur eine von 500000 Personen in den USA HIV- infiziert ist, läge es, sofern keine weiteren Informationen vorliegen, nahe, dass eine beliebige Person mit einer Wahrscheinlichkeit von nur 1 zu 500 – das ist ein fünftel Prozent – erkrankt ist. Sobald jedoch diese Person ein positives Testergebnis erzielt, ist unsere geschätzte Wahrscheinlichkeit, dass er oder sie mit dem Virus infiziert ist, auf 15 % gestiegen – eine wirklich erhebliche Zunahme.

In der Praxis belassen wir es natürlich nicht bei der Unsicherheit. Fällt ein Test positiv aus, wenden wir verfeinerte Tests an, um ganz sicherzugehen. Doch bevor das geschafft ist, machen wir uns natürlich Sorgen. Deshalb ergäbe sich aus unserem Plan für einen Aids-Massentest die Konsequenz, dass viele Millionen Menschen angstauslösende falsche Positivbescheide erhielten und weitere Tests durchstehen müssten.

Eine Schlussfolgerung können wir ganz bestimmt aus diesem Szenario ziehen: Bei politischen Entscheidungen ist klares Denken absolut notwendig. Denn im Endeffekt können nicht beabsichtigte Konsequenzen damit verbunden sein, die womöglich einen beachtlichen Schaden anrichten.

Statistik und Gleichgewicht
Die Statistik kann uns helfen, die Welt zu verstehen. Sie ist ein leistungsfähiges und effektives Werkzeug, um Angelegenheiten aus den Bereichen der Wirtschaft, Sozialfürsorge, des Sports und des Gesundheitswesens ins rechte Licht zu rücken. Sie verwandelt Daten in verdauliche Häppchen und zeigt uns eine angemessene Möglichkeit, Situationen zu bewerten, die entweder Zufallskriterien oder unbekannte Merkmale aufweisen. Allerdings müssen wir unseren gesunden Menschenverstand einsetzen, wenn wir die Statistik oder andere Hilfsmittel anwenden, die auf unsere Lebens-erfahrung zurückgreifen, damit wir aus Daten sinnvolle Schlussfolgerungen ziehen. Sorgfältiges Überdenken der Folgerungen, die sich aus statistischen Parametern ergeben, sollte uns vor den Gefahren statistischen Unsinns bewahren. Mag sein, dass die Zahlen selbst nicht lügen, aber in der Art und Weise, wie sie uns präsentiert werden, liegt auch die Gefahr des Missbrauchs verborgen.

Im nächsten Abschnitt unseres Sportwetten-Ratgebers wollen wir uns vor der Sichtweise trennen, Zahlen als statistische Maßeinheit zu betrachten und uns auf sie als eigenständige Wesen konzentrieren. Wie wir schon bald entdecken werden, haben Zahlen individuelle Persönlichkeiten, die wir annehmen können. Und wir werden versuchen, ihre Geheimnisse dem Dunkel zu entlocken.